📐 Inverse Cosine 計算機

這個計算機可以幫你找出餘弦值等於某個數字的角度。餘弦函數會把一個角度轉換成介於 -1 到 1 之間的比值；而反餘弦（寫作 arccos 或 cos⁻¹）則是反向運算，把這個比值還原回角度。只要輸入 -1 到 1 之間的任何數字，工具就會立刻回傳對應的角度，並同時以弧度與度數兩種單位呈現。

• 餘弦值（-1 到 1）：輸入你想反推的餘弦值。有效範圍是 -1 到 1，因為餘弦的結果永遠不會超出這個範圍。
• 查看結果，計算機會以弧度顯示，並換算成度數。

請注意，arccos 只會回傳主值——也就是 0 到 π 弧度（0° 到 180°）之間的角度。這是數學上的標準慣例。

計算機會先用 Math.acos(x) 算出弧度，再換算成度數：

因此，弧度結果直接來自反餘弦函數，而度數結果只是把弧度乘上 180/π（約等於 57.29578）。兩個數值代表的是同一個角度，只是使用不同的單位。

假設你輸入的餘弦值為 0.5：

• \arccos(0.5) = 1.047198 弧度
• 1.047198 × ≤ft(((180) ÷ (π))\right) = 60°

計算機會顯示約 1.0472 弧度與 60 度——這正是大家熟知、餘弦值恰好等於二分之一的角度。

反余弦回答了這個問題：哪個角的余弦值是這樣的？因為反余弦函數被限制在其主分支上，定義域 [-1, 1] 中的每個輸入 x 都恰好返回一個在 [0, π] 弧度（即 [0^\circ, 180^\circ]）內的角 θ。下面九個值是在三角學、幾何學和物理課程中最常出現的，因為它們的余弦值是 30-60-90 和 45-45-90 三角形的「特殊角」比率。

如何閱讀此表。精確弧度列是精確的——\arccos(0.5) 就是 π/3，完全沒有舍入，度數列也是精確的（60° 不是近似值）。只有兩個十進制列被舍入：十進制余弦值顯示到小數點後六位，十進制弧度顯示到四位。如果你在計算器中輸入舍入的十進制值（如 0.866025）而不是精確的 √(3)/2，答案將精確到百萬分之幾度為 30°，而不是恰好 30°。

兩個有用的模式。首先，該表關於 x = 0 對稱：改變輸入的符號會使角度關於 90° 反射，因為 \arccos(-x) = π - \arccos(x)。所以 \arccos(-0.5) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ。其次，反余弦是嚴格遞減的——更大的余弦值給出更小的角度——這就是為什麼當 x 從 −1 增加到 1 時，度數列從 180° 下降到 0°。任何在 [-1, 1] 之外的輸入都根本沒有實數反余弦，因為沒有實角的余弦大於 1 或小於 −1。

反三角函數周圍的詞彙是大多數錯誤開始的地方。這些定義使用現代數學的標準約定，全世界都是一樣的；在約定真正不同的地方，會被標記。

• 余弦（\cosθ） ——對於直角三角形中的銳角，相鄰邊長與斜邊長的比率。更一般地，對於任何角度，單位圓上對應點的 x 坐標。其輸出總是在 [-1, 1] 範圍內。
• 相鄰邊/斜邊比率 ——直角三角形的定義 \cosθ = ((相鄰邊 ) ÷ (斜邊 ))。由於斜邊是最長的邊，此比率永遠不能超過 1，這正是為什麼反余弦的定義域在 ±1 處停止的原因。
• 反余弦、\cos^{-1}、反余弦函數 ——撤銷余弦的函數：如果 \cosθ = x，其中 θ 在主值範圍內，那麼 \arccos(x) = θ。這三個名稱表示同一件事。
• 警告：\cos^{-1}x ≠ \dfrac{1}{\cos x} ——此處的上標 −1 表示函數反演，而不是倒數冪。余弦的倒數是正割，\sec x = 1/\cos x，完全不同的函數。例如 \cos^{-1}(0.5) = 60^\circ，而 1/\cos(0.5\ 弧度) ≈ 1.1395。編寫 \arccos 可以完全避免歧義。
• 定義域 [-1, 1] ——合法輸入的集合。輸入 1.5 或 −2 不會產生實數答案（計算器通常報告定義域錯誤），因為沒有實角的余弦是這樣的。略微超出範圍的值（如 1.0000001）通常來自較早步驟中的舍入。
• 值域 [0^\circ, 180^\circ] ——可能輸出的集合，等價於 [0, π] 弧度。反余弦永遠不會返回負角度，也不會返回 180° 以上的角度。
• 主值/主分支 ——無限多個角度有相同的余弦（例如 60°、−60°、300° 和 420° 都有余弦 0.5）。要成為真正的函數，反余弦必須只返回一個；約定的選擇是 [0, π] 中的那個，稱為主值。\cosθ = x 的完整解集是 θ = ±\arccos(x) + 360^\circ k，其中 k 是任何整數——在求解方程時值得記住，因為計算器只顯示這些解中的一個。
• 弧度 ——平面角的國際單位制單位：與半徑長度相等的弧所對應的角度。一個完整轉圈是 2π 弧度，所以 180^\circ = π 弧度，1 弧度 ≈ 57.2958°。微積分公式，例如 ((d) ÷ (dx))\sin x = \cos x 只在弧度中成立。
• 度數 ——日常角度單位，一個完整轉圈的 360 分之一。用 度數 = 弧度 × ((180) ÷ (π)) 轉換。
• 單位圓 ——半徑為 1 的圓，以原點為中心。從正 x 軸上的角度 θ 處的點的坐標為 (\cosθ,\ \sinθ)。反余弦反向讀取：給定 x 坐標，它返回圓上半部分的角度。
• 互補恆等式 ——對於 [-1, 1] 中的每個 x，
  \arcsin(x) + \arccos(x) = ((π) ÷ (2)) = 90^\circ.
  例如，\arcsin(0.5) = 30^\circ 和 \arccos(0.5) = 60^\circ，30° + 60° = 90°。這是檢查反余弦結果或從一個函數的值獲得另一個函數值的快速方法。

關於計算器設置的一個實用說明：以弧度模式的設備或軟體庫為 \arccos(0.5) 返回 1.0472，而以度數模式返回 60——同一個角度用不同的單位表示。大多數程式語言（C、Python 的 math 模塊、JavaScript 的 Math.acos）只返回弧度，所以如果需要度數，請顯式轉換。