🧮 Lcm 計算機

最小公倍數計算機可以找出一組整數的「最小公倍數」（Least Common Multiple，簡稱 LCM）——也就是能被你輸入的每一個數字整除的最小正整數。你只要在同一個欄位中輸入一串整數，計算機就會回傳一個結果：它們共同的最小公倍數。這項工具在分數通分、安排週期性重複的事件，以及解決數論題目時都非常實用。

• 數字——在輸入框中鍵入兩個以上的整數。
• 可用逗號、分號或空格分隔——計算機會以逗號（半形與全形皆可）、分號以及任何空白字元自動拆分。
• 支援負整數；系統只會保留符合 -?\d+ 格式的有效整數，因此多餘的文字會被自動忽略。

舉例來說，輸入 4, 6, 8 會被解析為清單 [4, 6, 8]。

計算兩個數字時，計算機會運用最小公倍數與最大公因數（GCD）之間的經典關係：

當你輸入超過兩個數字時，計算機會沿著整個清單逐步運算——先算出前兩個數的最小公倍數，再將這個結果與下一個數字求最小公倍數，依此類推。以程式的角度來說，這就是一個 reduce／fold 的運算：LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)。

假設你輸入 4, 6, 8：

• 步驟一：\gcd(4, 6) = 2，因此
  LCM(4, 6) = ((4 × 6) ÷ (2)) = ((24) ÷ (2)) = 12
• 步驟二：\gcd(12, 8) = 4，因此
  LCM(12, 8) = ((12 × 8) ÷ (4)) = ((96) ÷ (4)) = 24

計算機回傳 24——也就是能同時被 4、6、8 整除的最小數字。

下面的每個範例都使用計算器內部應用的相同恆等式：對於兩個整數，LCM(a,b) = \dfrac{|a × b|}{\gcd(a,b)}。對於三個或更多數字的列表，配對規則從左到右折疊。

範例 1 — 互質數對：LCM(7, 9)

1. 求最大公約數。7 的除數是 1 和 7；9 的除數是 1、3 和 9。唯一的共同除數是 1，所以 \gcd(7,9)=1。這些數字是互質的。
2. 應用恆等式：LCM(7,9) = \dfrac{|7 × 9|}{1} = \dfrac{63}{1} = 63。
3. 通過列舉進行檢查：7 的倍數是 7、14、21、28、35、42、49、56、63；63 = 9 × 7，所以它也是 9 的倍數。

答案：LCM(7, 9) = 63。只要最大公約數是 1，最小公倍數就是兩個數的乘積 — 沒有任何東西會抵消。

範例 2 — 一個數整除另一個數：LCM(5, 15)

1. 求最大公約數。由於 15 = 5 × 3，數字 5 能整除 15，所以 \gcd(5,15) = 5。
2. 應用恆等式：LCM(5,15) = \dfrac{|5 × 15|}{5} = \dfrac{75}{5} = 15。
3. 合理性檢查：15 是它本身的倍數，15 = 5 × 3 是 5 的倍數，且不存在 15 的更小正倍數。

答案：LCM(5, 15) = 15。這是一般規則：如果 a 整除 b，那麼 LCM(a,b) = |b|，即較大的數本身。

範例 3 — 四個數的列表：LCM(3, 4, 5, 6)

從左到右折疊配對規則，將執行結果向前進行：

1. \gcd(3,4) = 1 \Rightarrow LCM(3,4) = \dfrac{12}{1} = 12。
2. \gcd(12,5) = 1 \Rightarrow LCM(12,5) = \dfrac{60}{1} = 60。
3. \gcd(60,6) = 6 \Rightarrow LCM(60,6) = \dfrac{360}{6} = 60。

用質因數分解進行交叉檢查：3 = 3、4 = 2^2、5 = 5、6 = 2 · 3。每個不同質數的最高次冪是 2^2、3^1 和 5^1，得到 4 · 3 · 5 = 60 — 相同的值。

答案：LCM(3, 4, 5, 6) = 60。注意添加 6 到列表中沒有改變任何內容，因為 6 已經整除 60。

範例 4 — 負數輸入：LCM(−4, 6)

1. 最大公約數被取為正值：\gcd(-4, 6) = \gcd(4, 6) = 2。
2. 分子中的絕對值保持結果為正：LCM(-4,6) = \dfrac{|-4 × 6|}{2} = \dfrac{24}{2} = 12。

答案：LCM(−4, 6) = 12。根據標準約定，最小公倍數被報告為非負數，因此輸入的符號永遠不會改變答案 — 只有其絕對值重要。

有兩種可靠的手工方法，以及一種對小數的快速列舉檢查。兩種方法總是給出相同的答案；選擇對您面前的數字更快的方法。

方法 A — 質因數分解

1. 將每個數分解為質數，將重複的質數寫成冪。
2. 收集任何分解中出現的每個不同的質數。
3. 取每個質數在所有數中出現的最高指數（不是指數的總和）。
4. 將這些質數次方相乘。乘積是最小公倍數。

用 12 和 18 演示：

不同的質數是 2 和 3。2 的最高次冪是 2^2（來自 12）；3 的最高次冪是 3^2（來自 18）。因此

質因數分解自然地擴展到長列表 — 您只需掃描所有分解以找到每個質數的最大指數 — 但一旦數字很大且難以分解，它就會變慢。

方法 B — 最大公約數路線（歐幾里得演算法）

1. 使用歐幾里得演算法找到兩個數的最大公約數：重複將數對 (a, b) 替換為 (b, a \bmod b)，直到第二項為 0。剩下的第一項是最大公約數。
2. 將乘積除以最大公約數：LCM(a,b) = \dfrac{|a · b|}{\gcd(a,b)}。
3. 如果數字很大，請先除以再相乘 — 計算 (a / \gcd) · b 給出相同的結果，同時保持中間值較小。

用 48 和 18 演示。歐幾里得步驟如下：

第二項已達到 0，所以 \gcd(48,18) = 6。現在應用恆等式：

答案：LCM(48, 18) = 144。

處理三個或更多數字

最小公倍數是可結合的，所以列表通過從左到右折疊配對規則來處理：

1. 計算前兩個數的最小公倍數。
2. 取該結果和第三個數，計算它們的最小公倍數。
3. 重複直到列表用盡。數字的順序不影響最終答案。

快速檢查 — 列舉倍數

對於小數，列出每個數的倍數，找到所有列表的第一個公共值。對於 4 和 6：

• 4 的倍數：4、8、12、16、20、24、…
• 6 的倍數：6、12、18、24、…

最小的共同項是 12，所以 LCM(4,6) = 12。此方法直觀且適合驗證結果，但對於超過大約兩位數的數字，它是不實用的 — 列表在交集之前會變得很長。

乘積恆等式

對於任何兩個整數 a 和 b，最小公倍數和最大公約數合起來準確地說明了乘積：

這就是為什麼計算器可以通過首先計算（廉價的）最大公約數然後進行除法來找到最小公倍數。值得注意的是：恆等式僅適用於數對 — 對於三個或更多數字，LCM(a,b,c) × \gcd(a,b,c) 通常不等於 |a · b · c|。

邊界情況約定

• LCM(a, 1) = |a| — 每個整數都是 1 的倍數，所以 1 永遠不會改變結果。
• LCM(a, 0) = 0 — 零是每個整數的倍數，0 是這裡的標準約定（它還保持恆等式的一致性，因為 \gcd(a,0) = |a|）。
• 負輸入通過絕對值處理，因此報告的最小公倍數總是非負數：LCM(-4, 6) = 12。
• LCM(a, a) = |a| — 列表中的重複值不添加任何新內容。