這個計算器的用途
這個工具會針對你選定的階數 n，計算勒壤得多項式 P_n(x) 在一系列 x 值上的數值表，並繪出對應的曲線。你只要輸入階數、起始 x 值、每次遞增的步長，以及要產生的列數，計算器就會回傳每一組 (x, P_n(x)) 數值，並附上折線圖。勒壤得多項式是定義在區間 [-1, 1] 上的一族經典正交多項式，廣泛出現在物理與應用數學中——例如拉普拉斯方程的解、多極展開、球諧函數，以及高斯積分（Gaussian quadrature）。
使用方式
在 n（階數）欄位填入非負整數（0、1、2、…）。設定 x 的起始值（通常為 -1）、相鄰 x 值之間的 遞增步長（例如 0.02），以及你想產生的 列數（重複次數）。第 i 列使用的是 x = 起始值 + i × 步長。雖然這些多項式在 [-1, 1] 區間內最具意義，但公式對任意實數 x 都成立——只要注意一旦超出該區間，數值大小會迅速暴增。
公式說明
為了數值穩定，計算器不採用展開後的封閉式，而是使用 Bonnet 遞迴式：先令 P_0(x) = 1、P_1(x) = x，再依序疊代
前幾項的封閉式為 P_2 = ((3x^2 - 1) ÷ (2))、P_3 = ((5x^3 - 3x) ÷ (2))，以及 P_4 = ((35x^4 - 30x^2 + 3) ÷ (8))。
實際範例
以 n = 3、x = 0.5 為例：P_0 = 1、P_1 = 0.5。接著
而
代入封閉式 ((5x^3 - 3x) ÷ (2)) 也會得到相同結果，驗證遞迴式正確無誤。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。