📊 Mean And Standard Deviation 計算機

平均數與標準差計算器會讀取你輸入的一串數字，並回傳平均數（average）、變異數以及標準差。平均數代表資料的中心位置，標準差則衡量各數值相對於這個中心的離散程度。標準差小，表示數值緊密集中在平均數附近；標準差大，則代表數值分布得相當分散。

在輸入框中鍵入或貼上你的數字，數字之間以逗號或空格分隔。若你的資料只是從更大群體中抽取出的一部分，請選擇樣本；若資料涵蓋了整個群體，則選擇母體。計算器會接著顯示平均數、變異數、標準差、數量與總和。

首先計算平均數 \bar{x}，其中 n 為數值的個數，x_i 為每一個數值：

接著求出每個數值與平均數的差、將其平方，再取這些平方值的平均。樣本版本除以 n-1，母體版本則除以 n：

以資料組 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 為例。共有 n = 8 個數值，總和為 40，因此平均數為：

各數值與 5 的差平方後總和為 32。套用母體公式：

Estos ejemplos utilizan el mismo procedimiento cada vez: calcular la media \bar{x}, restarla a cada valor para obtener las desviaciones, elevar al cuadrado esas desviaciones, sumarlas, dividir entre n-1 para una muestra o entre n para una población, y por último tomar la raíz cuadrada. La única diferencia entre las dos versiones de la desviación estándar es entre qué se divide.

Ejemplo 1 — muestra frente a población con los mismos datos

Conjunto de datos (8 valores): 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.

Paso 1 — media:

Paso 2 — desviaciones al cuadrado:

Paso 3 — suma de cuadrados:

Paso 4 — varianza y desviación estándar. Con n = 8:

Muestra (dividir entre n-1 = 7):

Población (dividir entre n = 8):

Así, los mismos datos dan una desviación estándar muestral de 2.1381 y una desviación estándar poblacional de 2. El valor muestral es ligeramente mayor porque dividir entre el número más pequeño n-1 infla el resultado — esta es la corrección estándar que se utiliza cuando los datos son solo una muestra extraída de un grupo mayor.

Ejemplo 2 — valores decimales y negativos

Conjunto de datos (5 valores): -2, -1, 0, 3, 5.

Media:

Desviaciones al cuadrado:

Suma de cuadrados:

Varianza y desviación estándar (con n = 5):

Los valores negativos se tratan exactamente igual que los positivos — elevar al cuadrado las desviaciones elimina el signo, de modo que un valor por debajo de la media aporta tanta dispersión como uno situado a la misma distancia por encima.

Ejemplo 3 — valores equiespaciados

Conjunto de datos (5 valores): 10, 20, 30, 40, 50.

Media:

Desviaciones al cuadrado: las desviaciones son -20, -10, 0, 10, 20, por lo que los cuadrados son 400, 100, 0, 100, 400.

Varianza y desviación estándar (con n = 5):

Aunque los valores están perfectamente equiespaciados, la desviación estándar no es el propio espaciado (10) — es una medida cuadrática media de la distancia respecto a la media, que aquí resulta ser de aproximadamente 14.14 para toda la población.

La desviación estándar te indica la distancia típica entre un valor de los datos y la media, expresada en las mismas unidades que tus datos. Una desviación estándar pequeña significa que los valores se agrupan estrechamente alrededor de la media; una grande significa que están muy dispersos. Por sí solo, el número resulta más útil cuando se compara con la media y con la dispersión de otros conjuntos de datos medidos de la misma manera.

La regla empírica (68–95–99.7)

Cuando un conjunto de datos está aproximadamente distribuido normalmente (la conocida forma de campana simétrica), la desviación estándar \sigma delimita proporciones predecibles de los datos alrededor de la media \bar{x}:

• Alrededor del 68% de los valores caen dentro de ± 1\sigma de la media — el intervalo de \bar{x} - \sigma a \bar{x} + \sigma.
• Alrededor del 95% caen dentro de ± 2\sigma.
• Alrededor del 99.7% caen dentro de ± 3\sigma.

Por ejemplo, si un conjunto de mediciones tiene \bar{x} = 100 y \sigma = 15, entonces aproximadamente el 68% de los datos se sitúa entre 85 y 115, alrededor del 95% entre 70 y 130, y casi todos entre 55 y 145. Esta regla es una aproximación que solo se cumple para datos con forma más o menos de campana — para distribuciones muy sesgadas o de colas pesadas los porcentajes reales pueden diferir sustancialmente.

Decidir si un valor es típico o atípico

Para juzgar un solo valor, mide a cuántas desviaciones estándar se encuentra de la media. Esta es la puntuación estandarizada, o puntuación z:

Un valor con |z| menor que aproximadamente 1 es muy corriente; |z| cercano a 2 es algo inusual (solo alrededor del 5% de los datos normales se sitúa más allá de ± 2\sigma); y |z| de 3 o más es raro (menos del 0.3% de los datos normales), por lo que ± 2\sigma o ± 3\sigma son umbrales informales comunes para señalar posibles valores atípicos. Estas son convenciones para inspeccionar datos, no una prueba definitiva — una puntuación z grande indica un punto que merece examinarse, no automáticamente un error.

Coeficiente de variación — dispersión relativa

Dado que la desviación estándar lleva unidades, comparar la dispersión entre conjuntos de datos con diferentes escalas o unidades puede resultar engañoso. El coeficiente de variación (CV) lo reescala como una fracción (o porcentaje) de la media:

Un conjunto de datos con \bar{x} = 30 y \sigma ≈ 15.81 tiene CV ≈ 15.81 / 30 ≈ 0.527, es decir, alrededor del 52.7% — una dispersión relativamente alta. Un CV del 5% indica valores muy agrupados cerca de la media, mientras que un 50% o más indica una alta variabilidad relativa. El CV solo tiene sentido para datos medidos en una escala de razón con media positiva; es indefinido o inestable cuando la media es cero o cercana a cero, y no debe usarse para datos que puedan ser negativos (como temperaturas en grados Celsius o cifras de pérdidas y ganancias).