🧮 Modulo 計算機

模運算返回一個數除以另一個數後剩下的部分。下面的術語描述該運算的每個部分以及用於負數的兩種約定。

• 被除數 (a) — 被除的數；a \bmod b 的第一個輸入。
• 除數 (b) — 您除以的數，在同餘運算的上下文中也稱為模。
• 商 — 除數適配到被除數的整數倍數。在向下取整約定中為 ≤ft\lfloor a/b \right\rfloor；在截斷約定中為除法結果，其小數部分向零截斷。
• 餘數 (r) — 移除除數的整數倍數後剩下的部分：r = a - b · q，其中 q 是選定的商。
• 模 (n) — 將除數視為循環系統的大小，例如 12 小時制時鐘的 n = 12，一週的天數的 n = 7。
• 向下取整函數 ≤ft\lfloor x \right\rfloor — 不超過 x 的最大整數。它向下取整（朝向 -\infty），所以 ≤ft\lfloor 3.25 \right\rfloor = 3 但 ≤ft\lfloor -3.25 \right\rfloor = -4。
• 同餘 a \equiv r ±od n — 讀作「a 同餘於 r 模 n」，意思是 n 整除 a - r。例如 17 \equiv 2 ±od 5，因為 17 - 2 = 15 是 5 的倍數。
• 向下取整模運算 — 使用 q = ≤ft\lfloor a/b \right\rfloor，因此結果總是取除數的符號。這是本計算器使用的約定：
  r = a - b · ≤ft\lfloor ((a) ÷ (b)) \right\rfloor
• 截斷餘數 — 使用 q = trunc(a/b)，因此結果取被除數的符號。當 a 和 b 同號或除法精確時，兩種約定一致；否則相差恰好 b。
• % 運算符 — 大多數編程語言用於此操作的符號。它在不同語言中沒有標準化：有些實現向下取整模運算，有些實現截斷餘數（見下一節）。有些語言改為拼寫為 mod、MOD 或 rem。

除數為 0 是未定義的。因為 a \bmod 0 需要除以零，它沒有值。大多數語言會拋出錯誤（Python 的 ZeroDivisionError，Java 的 ArithmeticException），電子表格返回錯誤值（如 #DIV/0!），IEEE 754 浮點餘數返回 NaN。

這些行涵蓋人們最常檢查的情況：普通餘數、除數大於被除數、精確可整除性、奇偶性測試、循環環繞和十進制輸入。

計算示例：時鐘行

將 a = 15 和 b = 12 代入向下取整定義：

計算示例：十進制行

相同的公式對非整數也適用，沒有變化：

請注意，在二進制浮點運算中，計算機可能將其顯示為 0.8999999999999995 而不是 0.9；在代碼中比較十進制餘數時，應針對小的容差進行測試而不是精確相等。