什麼是莫爾圓？
莫爾圓（Mohr's Circle，又稱莫爾應力圓）是材料力學中用來描述材料內某一點應力狀態的二維圖解法。只要知道該點的應力分量，工程師就能透過莫爾圓迅速判讀主應力、最大剪應力，以及主平面的方位角。這套圖解方法由德國土木工程師 Otto Mohr 提出，至今仍廣泛應用於機械工程、土木工程與材料科學等領域，是應力分析最直觀好用的工具之一。
什麼時候該用莫爾圓計算器？
遇到下列情況時，莫爾圓計算器會特別派得上用場：
- 分析結構構件在複合荷載作用下的應力分布情形
- 找出機械零件中可能導致材料破壞的臨界應力點
- 設計必須同時承受多方向應力狀態的零組件
範例
範例一：梁的應力分析
已知梁上某一點的正向應力為 \sigma_x = 80\ MPa、\sigma_y = 20\ MPa，剪應力為 \tau_{xy} = 30\ MPa，求該點的主應力與最大剪應力。
| 參數 | 數值 |
|---|---|
| 正向應力 \sigma_x | 80 MPa |
| 正向應力 \sigma_y | 20 MPa |
| 剪應力 \tau_{xy} | 30 MPa |
| 莫爾圓圓心（\sigma_{avg}） | 50 MPa |
| 莫爾圓半徑（R） | 36.06 MPa |
| 主應力 \sigma_1 | 86.06 MPa |
| 主應力 \sigma_2 | 13.94 MPa |
| 最大剪應力 \tau_{max} | 36.06 MPa |
| 主平面夾角 θ_p | 22.5 度 |
範例二：壓力容器的應力分析
壓力容器上某一點的正向應力為 \sigma_x = 120\ MPa、\sigma_y = 60\ MPa，剪應力為 \tau_{xy} = 40\ MPa，試求其主應力與最大剪應力。
| 參數 | 數值 |
|---|---|
| 正向應力 \sigma_x | 120 MPa |
| 正向應力 \sigma_y | 60 MPa |
| 剪應力 \tau_{xy} | 40 MPa |
| 莫爾圓圓心（\sigma_{avg}） | 90 MPa |
| 莫爾圓半徑（R） | 50 MPa |
| 主應力 \sigma_1 | 140 MPa |
| 主應力 \sigma_2 | 40 MPa |
| 最大剪應力 \tau_{max} | 50 MPa |
| 主平面夾角 θ_p | 26.57 度 |
範例三：純剪狀態分析
分析純剪應力狀態，其中 \sigma_x = 0\ MPa、\sigma_y = 0\ MPa、\tau_{xy} = 50\ MPa。
| 參數 | 數值 |
|---|---|
| 正向應力 \sigma_x | 0 MPa |
| 正向應力 \sigma_y | 0 MPa |
| 剪應力 \tau_{xy} | 50 MPa |
| 莫爾圓圓心（\sigma_{avg}） | 0 MPa |
| 莫爾圓半徑（R） | 50 MPa |
| 主應力 \sigma_1 | 50 MPa |
| 主應力 \sigma_2 | -50 MPa |
| 最大剪應力 \tau_{max} | 50 MPa |
| 主平面夾角 θ_p | 45 度 |
常見應力狀態與對應的莫爾圓特徵
| 應力狀態 | 條件 | 莫爾圓特性 |
|---|---|---|
| 單軸拉伸 | \sigma_x > 0,\ \sigma_y = 0,\ \tau_{xy} = 0 | 圓心在 \sigma_x/2，半徑 = \sigma_x/2 |
| 純剪 | \sigma_x = 0,\ \sigma_y = 0,\ \tau_{xy} ≠ 0 | 圓心在原點，半徑 = \tau_{xy} |
| 雙軸拉伸 | \sigma_x > 0,\ \sigma_y > 0,\ \tau_{xy} = 0 | 圓心在 (\sigma_x+\sigma_y)/2，半徑 = |\sigma_x-\sigma_y|/2 |
| 靜水應力 | \sigma_x = \sigma_y,\ \tau_{xy} = 0 | 退化成一個點（無剪應力） |
| 複合應力 | \sigma_x ≠ \sigma_y,\ \tau_{xy} ≠ 0 | 圓心在 (\sigma_x+\sigma_y)/2，半徑依公式計算 |
相關計算器
關鍵術語和變數說明
| 術語（符號） | 典型單位 | 定義 |
|---|---|---|
| 正向應力（\sigma_x、\sigma_y） | MPa 或 N/mm²（SI）；psi 或 ksi（美國慣用單位制） | 作用在元素面上垂直於該面的單位面積力。\sigma_x 作用在外法向沿 x 方向的面上；\sigma_y 作用在法向沿 y 方向的面上。 |
| 剪應力（\tau_{xy}） | MPa、psi | 作用在面上平行（切向）的單位面積力。力矩平衡要求 \tau_{xy} = \tau_{yx}，因此單一數值描述面內剪應力。 |
| 主應力（\sigma_1、\sigma_2） | MPa、psi | 在兩個相互垂直的主平面上的極值正向應力，在這些平面上剪應力正好為零。約定：\sigma_1 ≥ \sigma_2。它們是圓與水平軸的交點。 |
| 平面內最大剪應力（\tau_{max}） | MPa、psi | 在垂直於分析平面的任何平面上的最大剪應力；數值上等於圓的半徑，\tau_{max} = R = (\sigma_1 - \sigma_2)/2。 |
| 平均正向應力（\sigma_{avg}） | MPa、psi | \sigma_{avg} = (\sigma_x + \sigma_y)/2 = (\sigma_1 + \sigma_2)/2。它是圓心的水平坐標，在軸旋轉下是不變的。 |
| 半徑（R） | MPa、psi | R = \sqrt{≤ft((\sigma_x - \sigma_y)/2\right)^{2} + \tau_{xy}^{2}}。平面內應力狀態偏差（形狀改變）部分的度量。 |
| 主平面角（θ_p） | 度或弧度 | 從 x 軸到 \sigma_1 方向的旋轉，θ_p = \tfrac{1}{2}\tan^{-1}\!≤ft(2\tau_{xy}/(\sigma_x-\sigma_y)\right)。兩個主方向相隔 90^\circ。 |
| 最大剪應力平面（θ_s） | 度 | θ_s = θ_p ± 45^\circ。在這些平面上剪應力達到 \tau_{max}，正向應力等於 \sigma_{avg}——最大剪應力平面永遠不是純剪應力，除非 \sigma_{avg}=0。 |
| 雙倍角（2θ） | 度 | 測量於莫爾圓周圍的角度是元素對應物理旋轉的兩倍，且旋轉方向相同。 |
符號約定
這裡使用的約定——以及此計算器期望的——是標準材料力學約定：拉應力為正，壓應力為負（將 40 MPa 壓縮輸入為 -40）。對於剪應力，正 \tau_{xy} 是作用在正 x 面上並沿正 y 方向的；在圓上，這通常被繪製為使元素逆時針旋轉的剪應力在變換方程中被視為正，而許多教科書將垂直軸倒轉以使圓的旋轉與元素旋轉相匹配。不同的書籍翻轉剪應力軸的繪製符號；這只改變圖像的鏡像，永遠不會改變 \sigma_1、\sigma_2 或 \tau_{max} 的大小。在一個問題中保持一致。
平面應力 vs. 平面應變
平面應力假設面外面上的所有應力分量消失（\sigma_z = \tau_{xz} = \tau_{yz} = 0）——對於薄板、薄金屬板、殼體和自由表面是很好的模型，這就是為什麼應變計的表面應力通常以這種方式對待。平面應變反而假設面外應變為零（\varepsilon_z = 0），這典型於長柱體如大壩、隧道、厚壁管道或長輥。在平面應變中 \sigma_z = \nu(\sigma_x + \sigma_y) \ne 0，其中 \nu 是泊松比；面內圓是相同的，但第三主應力不為零。此計算器解決面內圓，在兩種情況下都是相同的構造。
命名應力狀態
- 單軸應力——例如 \sigma_x \ne 0、\sigma_y = \tau_{xy} = 0（簡單拉伸桿）。圓通過原點，圓心 \sigma_x/2 和半徑 |\sigma_x|/2，因此 \tau_{max} = |\sigma_x|/2 在 45^\circ。
- 純剪應力——\sigma_x = \sigma_y = 0、\tau_{xy} \ne 0（扭轉軸）。圓以原點為中心，\sigma_1 = +|\tau_{xy}|、\sigma_2 = -|\tau_{xy}| 與軸成 45^\circ——這就是為什麼脆性扭轉軸在螺旋 45^\circ 表面上斷裂。
- 靜液壓/等雙軸狀態——\sigma_x = \sigma_y 且 \tau_{xy} = 0。圓退化為單點（R = 0）：每個平面承受相同的正向應力，根本沒有剪應力。
解釋莫爾圓結果
每個輸出告訴你什麼
\sigma_1 ——主應力。這是在該點作用的最大正向應力，如果為正，它是通過該點任何平面上的最大拉應力。它是你與材料抗拉強度相比較的數值：延性設計的屈服強度 \sigma_y（通常寫作 S_y 或 f_y）或脆性材料的極限抗拉強度，其中最大正向應力準則更合適。繼續例 1 的數值（\sigma_x=80、\sigma_y=20、\tau_{xy}=30 MPa），\sigma_1 = 92.43 MPa；與屈服強度為 250 MPa 的材料相比，僅根據該準則的安全係數約為 250/92.43 ≈ 2.7。
\sigma_2 的符號。正 \sigma_2 意味著元素在平面內處於雙軸張力；負 \sigma_2 意味著一個主方向處於壓縮而另一方向處於張力，這使圓相對於原點拉寬，通常使基於剪應力的失效準則更關鍵。這對於拉伸和壓縮行為差異很大的材料很重要，例如混凝土、鑄鐵、岩石和大多數陶瓷。
\tau_{max} = R。半徑是最大面內剪應力。根據最大剪應力（Tresca）準則，延性金屬的屈服在最大剪應力達到拉伸試驗中測量的屈服強度的一半時被預測——等效於當
對於例 1，面內值是 \tau_{max} = 42.43 MPa，所以 2\tau_{max} = 84.85 MPa——遠低於 250 MPa 的屈服強度。
不要忘記第三主應力
在平面應力中，面外主應力是 \sigma_3 = 0，在排列三個主應力時仍然必須包括它。絕對最大剪應力是 {\sigma_1, \sigma_2, 0} 中最大值和最小值之差的一半，這並不總是圓顯示的面內值。在例 1 中，兩個面內主應力都是拉應力，所以
僅使用面內圖會將此處的剪應力預測降低約 9%。當 \sigma_1 和 \sigma_2 符號相反時，面內圓是三個圓中最大的，兩個值相同。
馮·米塞斯替代方案
對於延性金屬，畸變能（馮·米塞斯）準則通常比 Tresca 更符合試驗數據，且稍微不那麼保守。在平面應力中，等效應力為
並在 \sigma_{vm} ≥ \sigma_{yield} 時預測屈服。對於例 1，\sigma_{vm} = \sqrt{92.43^{2} - (92.43)(7.57) + 7.57^{2}} = √(8542.6 - 699.9 + 57.3) ≈ 88.9 MPa。
讀取圓的幾何
- 圓心位置（\sigma_{avg}）是平均面內正向應力——靜液壓般的部分，使整個圓向左（壓縮）或向右（張力）移動，而不改變其大小。古典金屬塑性準則對此移動不敏感；脆性和岩土材料則敏感。
- 半徑（R）是剪應力/畸變的強度。在相同平均應力下，更大的圓意味著更嚴重的偏差狀態。
- 以原點為中心的圓（\sigma_{avg}=0，所以 \sigma_1 = -\sigma_2）是純剪應力。例如 \sigma_x = \sigma_y = 0 且 \tau_{xy} = 40 MPa 給出 R=40 MPa 和 \sigma_1 = 40 MPa 張力，\sigma_2 = -40 MPa 壓縮，兩者與剪應力方向成 45^\circ。
- 零半徑圓（單點，\sigma_x = \sigma_y、\tau_{xy} = 0）是等雙軸或靜液壓狀態：通過該點的每個平面承受相同的正向應力，根本沒有剪應力，因此從剪應力沒有首選失效平面。
- 圓的頂部和底部的點也承受等於 \sigma_{avg} 的正向應力——最大剪應力平面不是純剪應力，除非圓以原點為中心。
此分析的限制
莫爾圓是平衡的精確結果，適用於任何 2-D 應力狀態，但上述解釋假設線彈性、均質、各向同性材料行為、小變形和在單點評估的應力。它不考慮孔、缺口和焊接處的應力集中；殘餘或熱應力；複合材料、木材或軋製產品的各向異性；屈曲和其他穩定性限制；循環載荷下的疲勞；蠕變；或預先存在的裂紋導致的斷裂。結果僅為工程信息，不能替代針對你所在管轄區的管轄設計規範和材料的驗證——例如歐盟的歐洲規範 3（EN 1993）、美國的 AISC 360 或相關 ASME/API 壓力設備規則——並且任何受載設計應由具有適當部分安全係數或允許應力邊界的合格工程師檢查。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
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📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
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📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
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🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
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