什麼是模 m 的模反元素？
整數 a 對模數 m 的模反元素（又稱模逆元），是一個介於 1 到 m−1 之間的整數 x，使得 (a · x) \bmod m = 1。換句話說，把 a 乘以 x 之後再除以 m，餘數恰好等於 1。它相當於模算術中「除以 a」的運算，也是數論與密碼學的重要基石——RSA 金鑰產生、雜湊（Hashing）、中國剩餘定理等都會用到它。
如何使用這個計算器
輸入整數 a 與模數 m（m 必須大於或等於 2）。計算器會先將 a 對 m 取餘數，再執行擴展歐幾里得演算法，若模反元素存在便會回傳結果。當 a 為負數時，系統會自動將其化簡到 0 到 m−1 的範圍內，無需另行處理。
公式原理解析
模反元素存在的充分必要條件是 \gcd(a, m) = 1——也就是 a 與 m 除了 1 以外沒有其他公因數（兩者互質）。擴展歐幾里得演算法可以找出滿足 a · s + m · t = \gcd(a, m) 的整數 s 與 t。當最大公因數為 1 時，將係數 s 對 m 取餘數，得到的就是模反元素；若 \gcd(a, m) ≠ 1，則模反元素不存在。
實際範例
求 3 對模數 11 的模反元素。我們要找到 x 使得 (3 · x) \bmod 11 = 1。試算可得 3 · 4 = 12，而 12 \bmod 11 = 1，所以模反元素是 4。由於 \gcd(3, 11) = 1，擴展歐幾里得演算法能瞬間得到相同的結果。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
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