什麼是項鍊排列？
項鍊排列（日文稱「数珠順列」，又譯念珠排列）計算的是：把 n 個相異物件排成一個圓圈時，有多少種「本質上不同」的排法。只要其中一種排法可以透過旋轉圓圈，或是把整條項鍊翻面（鏡像反射）變成另一種，就視為同一種。這一點和「圓排列」（日文「円順列」）不同——圓排列只把旋轉視為相同，並不考慮翻面。這是普遍適用的組合數學結果，公式在任何地方都一樣，與國家或地區無關。
如何使用本計算器
輸入 n 的起始值與結束值（皆介於 1 到 100 之間），再選擇顯示精度（有效位數），工具就會針對範圍內的每個整數 n 各列出一列，並顯示對應的項鍊排列數。由於數值會以階乘速度急遽成長，較大的結果會以科學記號表示，並依你選定的有效位數四捨五入；能夠完整呈現的數值則會原樣列出。
公式解析
先從 n 個相異物件的所有 n! 種「直線排列」出發。把它們排成圓圈後，任一排法的 n 種旋轉結果都相同，因此除以 n，得到圓排列數：
N(n) = ((n!) ÷ (n)) = (n-1)!
而項鍊還可以翻面，使每一種排法都與其鏡像配成一對，因此再除以 2，得到項鍊排列數 N(n) = (((n-1)!) ÷ (2)), n = Start n \ldots End n
當 n = 1 或 n = 2 時，這個算式不會是整數，所以依慣例規定各為 1 種排法。
實際範例
以 n = 3 到 8 為例：
n=3 \Rightarrow (((3-1)!) ÷ (2)) = ((2) ÷ (2)) = 1
n=4 \Rightarrow ((6) ÷ (2)) = 3
n=5 \Rightarrow ((24) ÷ (2)) = 12
n=6 \Rightarrow ((120) ÷ (2)) = 60
n=7 \Rightarrow ((720) ÷ (2)) = 360
n=8 \Rightarrow ((5040) ÷ (2)) = 2520
在預設範圍的上限處，n=30 為 ((29!) ÷ (2)) = 4,420,880,996,869,850,977,271,808,000,000 ≈ 4.42 × 10^{30}
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼要除以 2？
這個 2 是用來消除翻面（鏡像）的對稱性：項鍊翻面後看起來一模一樣，因此同一個循環順序的「順時針」與「逆時針」版本只算一次。
為什麼 n=1 與 n=2 是特例？
一般公式對這兩者都會算出 \(0.5\)，而 \(0.5\) 不是合理的排法數；從幾何上看，一個或兩個物件都只有一種排法，所以我們將結果記為 1。
它和圓排列有什麼差別？
圓排列只把旋轉視為相同，其值為 \((n-1)!\)；項鍊排列則進一步允許翻面（鏡像），當 \(n \geq 3\) 時其值為 \(\dfrac{(n-1)!}{2}\)。