什麼是負二項分布？
負二項分布用來描述：在一連串獨立的伯努利試驗中，每次試驗成功的機率為 p，要等到第 k 次成功之前，總共會發生幾次失敗 x。本計算器採用「第 k 次成功前的失敗次數」這種參數化方式，因此隨機變數可取的值為 x = 0、1、2、……。計算結果會給出機率質量 f、下尾累積機率 P，或上尾（存活）機率 Q，並在指定的一段 x 範圍內列出所選函數的數值表。
使用方法
先選擇要計算的函數：f（機率質量）、P（下尾累積）或 Q（上尾累積）。接著輸入所需的成功次數 k（正整數）、每次試驗的成功機率 p（介於 0 與 1 之間）、x 的起始值、每列之間的間隔，以及要產生幾列。表格會列出每個 x 與對應的機率；同時也會顯示失敗次數的平均數與變異數。
公式說明
機率質量函數為
f(x,k,p) = \binom{x+k-1}{x} p^{k} (1-p)^{x}
，其中 C 為二項式係數。下尾累積分布為 P(x,k,p) = \sum_{t=0}^{x} \binom{t+k-1}{t} p^{k} (1-p)^{t}
。上尾累積（存活）函數為 Q(x,k,p) = 1 - P(x-1,k,p)，等於所有 t ≥ x 的 f(t) 總和。失敗次數的平均數為 k(1-p)/p，變異數為 k(1-p)/p^{2}。
實例演算
設 k = 4、p = 0.4，求 f(x=2)：\binom{5}{2} = 10、p^{4} = 0.0256、(0.6)^{2} = 0.36，因此
f = 10 × 0.0256 × 0.36 = 0.09216
下尾累積 P(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 0.0256 + 0.06144 + 0.09216 = 0.1792
存活機率 Q(2) = 1 - P(1) = 1 - (0.0256 + 0.06144) = 0.91296
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
x 計算的是成功次數還是失敗次數？
在此 x 計算的是第 k 次成功之前的失敗次數。試驗總次數則為 x + k。
如果 p = 1 會怎樣？
此時不可能發生失敗，所以 \(f(0) = 1\)，而當 \(x > 0\) 時 \(f(x) = 0\)。
如果 p = 0 會怎樣？
分布會退化（預期會有無限多次失敗），對於任何有限的 x，\(f(x) = 0\)。