這個計算器的功能
這個工具會求出方程式的根——也就是讓 f(x) = 0 成立的 x 值——所採用的是免導數牛頓法，又稱為 Steffensen 迭代法。傳統牛頓法需要解析的一階導數 f'(x)；而此變體則改用「向前差分」來估算斜率，整個過程只需計算函數值，因此你完全不必動手求導。它是一套純粹的數學工具，適用於任何單變數實函數。
使用方式
在 f(x) 欄位中以變數 x 輸入你的函數。可使用 + - * / ^、括號、常數 pi 與 e，以及常見函數：sin、cos、tan、asin、acos、atan、sinh、cosh、tanh、exp、ln、log、log10、sqrt、abs。三角函數一律以弧度（radian）計算。接著設定初始猜測值 x0（結果會受其影響）、選擇最大迭代次數 n，即可讀出收斂後的根、殘差 f(x)，以及實際所需的迭代次數。
公式說明
迭代更新式為
x_{n+1} = x_n - ((f(x_n)^2) ÷ (f\!≤ft(x_n + f(x_n)\right) - f(x_n)))
它源自標準的牛頓步 x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中 f'(x_n) 以步長 h = f(x_n) 的向前差分來近似。將這個估算值代入後，便得到上方的公式。在單根附近，它的收斂速度大致為二次（quadratic），與真正的牛頓法相當，卻只用到函數值。
實例演練
以 f(x) = x - \cos(x)、x_0 = 1 為例：第 1 次迭代得 f(1) = 0.45970，探測點 f(1.45970) = 1.34861，分母為 0.88891，因此
x_1 = 1 - ((0.45970^2) ÷ (0.88891)) = 0.76224
迭代很快便收斂到 x ≈ 0.7390851332，也就是滿足 x = \cos(x) 的數值（即「Dottie 數」），此時 f(x) ≈ 0。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼有時無法收斂？
初始猜測值選得不好可能導致發散，或落到另一個根上；若分母 \(f(x+f(x)) - f(x)\) 變為零，方法會安全地停止。此時請換一個 x0 再試。
角度是用度還是弧度？
使用弧度（radian），這是標準的數學慣例。如有需要，可用x*pi/180進行換算。
需要先求導數嗎？
不需要——這正是本方法的重點。它僅憑函數值就能估算斜率。