什麼是牛頓法？
牛頓法（又稱牛頓-拉弗森法）是數值求根中最快速、應用最廣的方法之一，目標是找出使 f(x) = 0 的 x 值。它從一個初始猜測值出發，反覆畫出曲線的切線，並以該切線與 x 軸的交點作為下一個更精準的估計值。當條件理想時，它具有二次收斂的特性：每迭代一次，正確位數大約會翻倍成長。
如何使用本計算機
請以 x 作為變數輸入您的函數 f(x)。由於本工具不會自動求導，因此您必須自行提供解析導數 f'(x)。接著設定初始猜測值 x_0 與最大迭代次數。計算機會回傳近似根、該根處的 f 值（理想情況下應接近零，以確認收斂）、實際使用的迭代次數，以及逐步的計算歷程表。支援語法：次方使用 + - * / ^、括號，以及函數 sin、cos、tan、asin、acos、atan、exp、ln、log、sqrt、abs，常數 pi 與 e。三角函數以弧度（radian）為單位。
公式解析
迭代公式為
x_{n+1} = x_{n} - ((f(x_{n})) ÷ (f^{\prime}(x_{n})))
每次迭代都會在目前的點計算函數值與斜率，並朝切線與 x 軸交點的方向前進。若在任一步驟中導數為零，代表切線為水平線，此時方法會因除以零而失敗並回報錯誤。
實際範例
以 f(x) = x - \cos(x) 為例，其導數為 f'(x) = 1 + \sin(x)，並取 x_0 = 1。第一步得
x_1 = 1 - ((1 - \cos 1) ÷ (1 + \sin 1)) = 0.75034
第二步得 0.73912；第三步得 0.73909；只需幾次迭代便會收斂至 x = 0.7390851332151607，也就是著名的「Dottie 數」，滿足 x = \cos x。此時 f(x) 基本上等於零。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼我需要自行提供導數？
本工具只會計算數學式的值，並不會執行符號微分，因此需要您手動輸入 \(f'(x)\)。導數若輸入錯誤，將導致求得錯誤的根或無法收斂。
為什麼算不出來（無法收斂）？
當初始猜測值不佳、接近反曲點，或根本不存在實數根時，牛頓法可能會發散或來回振盪。請嘗試換一個 \(x_0\)，或提高最大迭代次數。
當函數有多個根時，我會得到哪一個？
求得的根取決於初始猜測值 \(x_0\)；請選擇一個接近您想要的根的猜測值。