這個計算器的用途
本工具針對常態分布（又稱高斯分布）N(\mu, \sigma^2) 進行運算，由平均數 \mu 與標準差 \sigma 來描述。給定兩個點 x_1 與 x_2，計算器會回傳四個數值：兩點各自的機率密度 f(x_1) 與 f(x_2)、區間內累積機率 P(x_1 ≤ X ≤ x_2)（也就是兩點之間的面積），以及兩側尾端的區間外累積機率，其值等於 1 減去區間內面積。這是一個純數學的統計工具，不涉及任何地區規則，適用於世界各地。
使用方式
輸入兩個點 x_1 與 x_2（計算器會自動以較小者作為下界），接著填入平均數 \mu 與標準差 \sigma。預設值 \mu=0、\sigma=1 即為標準常態分布，此時 x 值就等同於 z 分數（標準分數）。標準差必須大於零。
公式說明
每個點都會先轉換成 z 分數：
z = ((x - \mu) ÷ (\sigma))
機率密度採用公式 f(x) = ((1) ÷ (\sigma√(2π))) e^{-(((x-\mu)^2) ÷ (2\sigma^2))}
累積面積則使用標準常態累積分布函數（CDF） \Phi(z) = \tfrac{1}{2}≤ft(1 + erf\!≤ft(\tfrac{z}{√(2)}\right)\right)
由於 Java 並未內建 erf 函數，這裡採用 Abramowitz & Stegun 7.1.26 近似式（精度約 1e-7）。區間內機率為 \Phi(z_2) - \Phi(z_1)，區間外機率則為 1 減去此值。
實際範例
以標準常態分布為例，x_1 = -1、x_2 = 1、\mu = 0、\sigma = 1。機率密度
f(-1) = f(1) = 0.398942 × e^{-0.5} = 0.241971
\Phi(1) = 0.841345、\Phi(-1) = 0.158655，因此區間內機率為 0.841345 - 0.158655 = 0.682690
（約 68.27%，正是大家熟悉的 ± 1\sigma 法則），區間外機率則為 0.317310（約 31.73%）。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
如果我輸入的 \(x_1\) 大於 \(x_2\) 怎麼辦？
計算器會在內部自動將兩個數值對調，確保區間內始終是較小值到較大值之間的範圍。
\(\mu=0\)、\(\sigma=1\) 代表什麼？
這就是標準常態分布，因此你輸入的 x 值可直接視為 z 分數。
為什麼 \(f(x)\) 有時會大於 1？
機率密度並不是機率本身；當 \(\sigma\) 很小時，曲線峰值的高度可能超過 1，但整條曲線下的總面積仍然等於 1。