什麼是 n×n 矩陣行列式計算器？
這個工具可以計算任意 n×n 實數方陣的行列式 \det(A)，並一併算出其倒數 ((1) ÷ (\det(A)))。行列式是一個單一數值，能告訴你矩陣是否可逆（\det ≠ 0）或為奇異矩陣（\det = 0）。它在線性代數、幾何（有號體積的縮放比例）以及解聯立方程組中都扮演關鍵角色。行列式的數學定義放諸四海皆準，無論在哪裡計算結果都相同。
使用方法
先設定矩陣的階數 n（1 到 10），接著在表格中逐一填入每個元素 a_{ij}。元素可以是負數、小數或零。若需要更高的精度，可自行選擇要顯示的位數。計算器會回傳行列式；當矩陣可逆時，也會回傳倒數 ((1) ÷ (\det(A)))。若行列式為零，則會將該矩陣標示為奇異矩陣，並回報倒數為未定義。
計算公式
行列式可以透過沿某一列的拉普拉斯（餘因子）展開來定義：
\det(A) = \sum_{j} a_{ij} · (-1)^{i+j} · M_{ij}
其中 M_{ij} 是刪除第 i 列與第 j 行後所得的子行列式。當 n = 2 時， \det = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}
為了兼顧數值穩定性與運算速度，本計算器改採部分主元選取的高斯消去法：將 A 化為上三角形式，記錄列交換所造成的正負號變化，再將對角線上的主元相乘 —— \det(A) = sign · \prod_{k=1}^{n} U_{kk}
範例演算
以 A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]] 為例：
\det = 1(5 · 10 - 6 · 8) - 2(4 · 10 - 6 · 7) + 3(4 · 8 - 5 · 7) = 1(2) - 2(-2) + 3(-3) = 2 + 4 - 9 = -3
因此 \det(A) = -3，而 ((1) ÷ (\det(A))) ≈ -0.3333。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
行列式為 0 代表什麼？
這表示矩陣是奇異矩陣：它的各列或各行彼此線性相依，沒有反矩陣，因此 \(\frac{1}{\det(A)}\) 為未定義。
元素可以是小數或負數嗎？
可以 —— 任何實數都能輸入。
為什麼採用消去法而非餘因子展開？
餘因子展開的運算量高達 \(O(n!)\)；高斯消去法只需 \(O(n^3)\)，對於較大的矩陣也能保持數值穩定。