什麼是密切圓？
密切圓（osculating circle）是在曲線上某一點最能貼近、最能近似該曲線的圓。它在這一點「親吻」曲線──拉丁文 osculare 正是「親吻」之意──不僅通過該點本身，還與曲線的斜率以及彎曲程度完全吻合。對於任何由 x(t) 與 y(t) 定義的平滑參數曲線，在選定參數 t 處的密切圓，會與曲線在該點的切線方向及曲率一致。
本計算機會根據你輸入的參數方程與某個 t 值，回傳三項結果：曲率 \kappa、曲率半徑 R，以及該圓的圓心座標。這些量在物理學、道路與鐵路設計、電腦繪圖以及微分幾何等領域都有廣泛應用。
計算機使用方法
- 輸入曲線的 x 分量（以 t 為自變數的函數），例如
cos(t)。 - 輸入 y 分量，例如
sin(t)。 - 輸入你想求密切圓的參數值 t（若使用三角函數，則以弧度為單位）。
- 即可讀出曲率、曲率半徑與圓心座標。
公式解析
對於參數曲線，曲率的公式為：
曲率半徑就是它的倒數：
密切圓的圓心位於曲線之外、距離曲線 R 的位置，方向沿著指向內側的法線。圓心座標由曲線上的點 (x, y) 加上對應的法向偏移量計算而得。
實例演算
以曲線 x(t) = \cos(t)、y(t) = \sin(t)──也就是單位圓──在 t = 0 處為例。此時 x^{\prime} = -\sin(t)、y^{\prime} = \cos(t)、x^{\prime\prime} = -\cos(t)、y^{\prime\prime} = -\sin(t)。代入 t = 0 可得曲率 \kappa = 1，因此半徑 R = 1，圓心落在原點 (0, 0)。這個結果完全合理：單位圓的密切圓就是它自己。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。