什麼是 Machin 類圓周率計算器？
這個工具會從六種經典的「Machin 類」四項反正切公式中選用一種來計算圓周率 π。每一條公式都把 π/4 表示為四個 arctan(1/x) 項的加權總和，而其中的 x 都相當大，因此底層的格雷戈里級數能夠快速收斂。六條公式算出的常數完全相同，都是 π，差別只在於收斂速度與各自的歷史背景。
使用方式
從下拉選單挑選一條公式（高斯 1863、Størmer 1896、Escott 1896、高野 1982、村田 1982 或柴田 1983），再選擇要顯示的有效位數。計算器會逐一計算每個反正切值，並將它們合併成 π。由於本版本採用雙精度浮點數運算，無論你選擇較大的顯示位數，實際有效精度大約落在 15 至 16 個有效位數。
公式說明
Machin 類公式的形式為
((π) ÷ (4)) = a_1\arctan((1) ÷ (b_1)) + a_2\arctan((1) ÷ (b_2)) + a_3\arctan((1) ÷ (b_3)) + a_4\arctan((1) ÷ (b_4))
每個反正切都可以用格雷戈里級數 \arctan x = x - ((x^3) ÷ (3)) + ((x^5) ÷ (5)) - ((x^7) ÷ (7)) + ·s
來計算；當 x = 1/b 很小時，這個級數收斂得非常快。最後把加權總和乘以 4，就得到 π。
實際範例
以高斯公式（1863）為例：
((π) ÷ (4)) = 12\arctan((1) ÷ (38)) + 20\arctan((1) ÷ (57)) + 7\arctan((1) ÷ (239)) + 24\arctan((1) ÷ (268))
計算各個反正切值可得 0.0263097861、0.0175420604、0.0041840760 與 0.0037313259。其加權總和為 0.785398163，再乘以 4 即得 π = 3.14159265358979。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼所有公式算出來的答案都一樣？
它們在代數上都是 π/4 的等價恆等式，只是收斂速度不同而已。
我能算到 50 位嗎？
顯示選項最多可要求 50 位數，但標準雙精度運算的上限大約只到 15 至 16 個有效位數，超出的位數並不可靠。
什麼是 Machin 類公式？
它是 John Machin 在 1706 年提出之公式 \(\frac{\pi}{4} = 4\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}\) 的推廣，利用引數較小的反正切項來達成快速收斂。