什麼是卜瓦松分布計算器？
卜瓦松分布（Poisson distribution）用來描述在固定的時間區間或空間範圍內，某事件發生的次數，前提是已知一個固定的平均發生率（平均數），且各事件彼此獨立發生。本計算器會依一連串 x 值，同時列出三項數值：機率質量 f(x;\lambda)、下累積機率 P(x;\lambda) = P(X ≤ x)，以及上累積機率 Q(x;\lambda) = P(X ≥ x)。
使用方式
先選擇要強調顯示的數列（機率質量 f、下累積機率 P，或上累積機率 Q）。接著輸入平均數 \lambda（必須 ≥ 0）、x 的起始值、遞增量（步長），以及重複次數（列數）。計算器會自動產生 x = 起始值,\ 起始值+步長,\ 起始值+2·步長,\ \ldots 並逐列顯示對應的 f、P 與 Q，同時強調您所選的欄位。
公式說明
機率質量函數為
f(x;\lambda) = ((\lambda^{ x} e^{-\lambda}) ÷ (x!)).
下累積分布是將 x 以前（含 x）的所有機率質量加總：P(x;\lambda) = \sum_{t=0}^{x} ((\lambda^{ t} e^{-\lambda}) ÷ (t!)).
上累積機率則包含 x 當點本身的機率：Q(x;\lambda) = 1 - P(x;\lambda) + f(x;\lambda),
因此 P 與 Q 會在 f(x) 這一項重疊。為了維持數值運算的穩定，本計算器以對數階乘來計算 f：f = \exp\!≤ft(-\lambda + x·\ln\lambda - \ln(x!)\right).
實際範例
當 \lambda = 5、x = 0 時：e^{-5} = 0.006737947，因此 f(0) = 0.006737947、P(0) = 0.006737947，而
Q(0) = 1 - 0.006737947 + 0.006737947 = 1.
當 x = 5 時，f(5) = 0.175467、P(5) = 0.615961、Q(5) = 0.559507 — 也就是說，約有 61.6% 的機率質量落在 X ≤ 5 的範圍內。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼 P + Q 會大於 1？
因為下累積機率 P（X ≤ x）與上累積機率 Q（X ≥ x）都包含了 x 當點的機率質量 \(f(x)\)，所以兩者相加會等於 \(1 + f(x)\)。
當 \(\lambda = 0\) 時會怎樣？
所有機率質量都集中在 x = 0：\(f(0) = 1\)、\(x > 0\) 時 \(f(x) = 0\)，而對於每一個 \(x \ge 0\)，\(P(x)\) 皆為 1。
\(\lambda\) 可以是非整數嗎？
可以 — \(\lambda\) 是一個發生率，可為任何 \(\ge 0\) 的數值；但 x 值必須是非負整數。