🎲 Poisson Distribution Lambda From Cumulative Probability 計算機

本工具是一般卜瓦松機率計算器的「反向版本」。一般做法是從已知的平均數 \lambda 出發去算機率；這裡則相反——你輸入已知的累積機率與分位點 x，工具會反推出能產生這個結果的卜瓦松平均數 \lambda。當你已經設定好一個目標服務水準（也就是某個機率），卻需要回推背後事件的期望發生率時，這在產能規劃、可靠度分析與排隊理論中都非常實用。

先選擇累積模式。下尾累積 P 代表你輸入的機率是 P(X ≤ x)，也就是發生 x 次或更少次的機率。上尾累積 Q 則代表 Q(X ≥ x)，也就是發生 x 次或更多次的機率。接著填入累積機率（須為嚴格介於 0 與 1 之間的數值）以及非負整數的次數 x，即可直接得到平均數 \lambda。

卜瓦松機率質量函數為

下尾累積是 t = 0 到 x 的總和，會隨著 \lambda 增大而遞減；上尾累積 Q(x, \lambda) = 1 - P(x-1, \lambda) 在 x ≥ 1 時則會隨 \lambda 增大而遞增。由於兩種累積機率對 \lambda 都是嚴格單調的，因此解必定唯一。計算器採用穩健的二分法找根，並透過穩定的逐項遞迴相乘來計算數值（避免階乘溢位）。

以下尾模式為例，P = 0.6、x = 5。我們要解出前六項卜瓦松機率之和等於 0.6 的 \lambda：

代入 \lambda = 5.0 時 P 約為 0.616（太高）；\lambda = 5.1 時約為 0.597；\lambda = 5.08 時約為 0.600。因此 \lambda 約為 5.083 個期望事件。

為什麼機率一定要嚴格介於 0 與 1 之間？機率若剛好等於 0 或 1，會把 \lambda 推向邊界（0 或無限大），如此便不存在有限且唯一的平均數。

上尾模式下 x = 0 會發生什麼事？對任意 \lambda 而言 Q(0, \lambda) 永遠等於 1，因此平均數無法定義；遇到這種退化情況，工具會回傳 0。

x 一定要是整數嗎？是的。在標準的卜瓦松解釋中，x 必須是非負整數的計數；若輸入非整數會被無條件捨去取整。