什麼是母體變異數？
母體變異數（\sigma^2）用來衡量一整組數據相對於其平均數的分散程度。與樣本變異數不同的是，母體變異數是把離差平方和除以 N（也就是數值的總個數），而非除以 N−1。當你手上的數據代表的是完整母體，而不只是從中抽取的樣本時，就應該使用母體變異數。
如何使用這個計算器
把你的數據輸入框中，數值之間以逗號或空格分隔即可（例如：4, 8, 6, 5, 3, 8）。計算器會先求出平均數，接著將每個數值減去平均數、把這些離差平方、加總後再除以數值個數。你會立刻得到變異數、平均數、離差平方和，以及母體標準差。
公式說明
母體變異數的公式為
\sigma^2 = ((1) ÷ (n))\sum_{i=1}^{n}≤ft(x_i - \mu\right)^2
其中 \mu 是母體平均數，x_i 是每一個數值，N 是數值的個數，\Sigma 代表「總和」。之所以要把每個數值與平均數的差距加以平方，是為了避免正、負離差互相抵消。母體標準差 \sigma 則只是變異數的平方根。
實例演算
以數據組 4, 8, 6, 5, 3, 8 為例。平均數為
(4+8+6+5+3+8) ÷ 6 = 34 ÷ 6 ≈ 5.6667
各項離差平方：(4-5.6667)^2=2.7778、(8-5.6667)^2=5.4444、(6-5.6667)^2=0.1111、(5-5.6667)^2=0.4444、(3-5.6667)^2=7.1111、(8-5.6667)^2=5.4444。總和為 21.3333。除以 N=6，得到 \sigma^2 ≈ 3.5556，而 \sigma ≈ 1.8856。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
母體變異數與樣本變異數，我該用哪一個？
當你的數字就是整個母體時，使用母體變異數（÷N）；當這些數字只是用來推估更大母體的一份樣本時，則使用樣本變異數（÷N−1）。
變異數會是負數嗎？
不會。因為離差都經過平方，變異數永遠大於或等於零。只有在所有數值完全相同時，變異數才會等於零。
變異數的單位是什麼？
變異數的單位是原始數據單位的平方。若想回到原本的單位，只要取平方根換算成標準差即可。