這個計算器的功能
「兩個 Z 分數之間的機率計算器」會算出你所選兩個 Z 分數之間、標準常態曲線下方所涵蓋的面積。在統計學中，標準常態分布的平均數為 0、標準差為 1；其鐘形曲線下方的總面積等於 1（也就是 100%），而兩點之間的面積代表標準化數值落在該區間內的機率。本工具除了回報這個中間區間的機率外，還會一併給出兩側的尾端機率。
你需要輸入的資料
- 下限 Z 分數：橫軸上兩個邊界中較小的那一個。
- 上限 Z 分數：較大的那個邊界。
你不必擔心順序問題——如果不小心把較大的數值填進下限欄位，計算器會自動把兩者對調，確保較小的數字永遠被視為左邊界。
使用的公式
令 Φ(z) 為標準常態分布的累積分布函數（CDF），也就是某個 Z 分數左側的面積。計算器會算出三項結果：
- 區間機率：P(z₁ ≤ Z ≤ z₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)
- 左尾：P(Z < z₁) = Φ(z₁)
- 右尾：P(Z > z₂) = 1 − Φ(z₂)
每個數值都會同時以小數機率與百分比兩種形式呈現。這三塊面積加總起來永遠等於 1（100%）。
實例演算
假設你輸入的下限 Z 分數為 −1、上限 Z 分數為 1。對應的 CDF 值為 Φ(1) ≈ 0.8413，Φ(−1) ≈ 0.1587。
- 區間機率：0.8413 − 0.1587 = 0.6827，約為 68.27%
- 左尾（小於 −1）：0.1587，即 15.87%
- 右尾（大於 1）：1 − 0.8413 = 0.1587，即 15.87%
這正好印證了著名的「68% 法則」——大約 68% 的常態分布資料會落在平均數正負一個標準差的範圍內。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
可以使用負的 Z 分數嗎？
可以。Z 分數可以是負數（代表低於平均數）或正數（高於平均數）。兩個欄位都接受任何實數。
如果兩個 Z 分數相同會怎樣？
兩個相同點之間的面積為零，因此區間機率會是 0%，剩下的機率則全部分配給左尾與右尾。
該如何從原始資料算出 Z 分數？
用 z =（x − 平均數）÷ 標準差 把原始數值 x 換算成 Z 分數，再把得到的 Z 分數填入這裡，就能求出它們之間的機率。