這個計算機能做什麼
離散機率分布會列出一個隨機變數所有可能出現的結果，以及每個結果發生的機率。這個計算機只要輸入這張表——一組數值（x）與其對應的機率（p）——就能立即算出概括整個分布的三個關鍵數字：平均數（期望值）、變異數，以及標準差。
使用方式
在第一個欄位輸入各個結果的數值，並以逗號分隔（例如 1, 2, 3, 4）。在第二個欄位依相同順序輸入對應的機率（例如 0.1, 0.2, 0.3, 0.4）。請確認兩組數列的項目數量相同，而且所有機率加總等於 1。按下計算按鈕即可看到結果。本工具還會顯示機率的總和，方便您確認這個分布是否有效。
公式解析
平均數以 \mu 表示，是以機率為權重的加權平均：
\mu = \sum_{i} x_i · p_i
也就是把每個數值乘上它對應的機率，再把所有乘積相加。變異數以 \sigma^{2} 表示，用來衡量各結果偏離平均數的程度：\sigma^{2} = \sum_{i} ≤ft(x_i - \mu\right)^{2} · p_i
標準差 \sigma 則是變異數的平方根，它與數值使用相同的單位來表達離散程度。
範例演算
假設 x = 1, 2, 3, 4，對應的機率為 0.1, 0.2, 0.3, 0.4。平均數為
1(0.1) + 2(0.2) + 3(0.3) + 4(0.4) = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.0
變異數為 (1-3)^{2}(0.1) + (2-3)^{2}(0.2) + (3-3)^{2}(0.3) + (4-3)^{2}(0.4) = 0.4 + 0.2 + 0 + 0.4 = 1.0
因此標準差為 √(1.0) = 1.0。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
機率一定要加總等於 1 嗎？
是的，這樣才算是有效的機率分布。計算機會顯示總和供您確認；如果加起來不等於 1，算出來的結果就沒有意義。
變異數和標準差有什麼不同？
變異數是各結果偏離平均數的平方差之平均；標準差則是變異數的平方根，能讓衡量結果回到原本的單位。
可以輸入負數嗎？
可以。結果數值可以是任何實數，只有機率必須介於 0 與 1 之間。