什麼是「最多 k 次成功」的機率？
這個計算器用來求出二項分布的累積機率 P(X ≤ k)，也就是在 n 次獨立試驗中，每次成功機率為 p 的條件下，成功次數不超過 k 次的機率。它會把從 0 次成功一直加到 k 次成功的所有個別機率全部加總起來，相當於二項分布的下尾（累積分布函數，CDF）。
如何使用
請輸入試驗次數 n、門檻值 k（你允許的最大成功次數），以及每次試驗的成功機率 p（介於 0 到 1 之間的小數）。計算器會回傳 P(X ≤ k)、對應的百分比、餘事件機率 P(X > k)，以及成功次數的期望值 np。
公式解析
恰好出現 i 次成功的機率為二項式項 \binom{n}{i} p^{i} (1-p)^{n-i}，其中 \binom{n}{i} 代表從 n 次試驗中挑出哪 i 次成功的組合數。要計算「最多 k 次」，就把 i = 0、1、…、k 的這些項全部相加。
本計算器採用相鄰各項之間數值穩定的遞迴方式運算，即使 n 很大也能維持結果的準確度。
實例演練
假設你拋擲一枚公正硬幣 10 次（n = 10、p = 0.5），想知道最多出現 3 次正面（k = 3）的機率。把 0、1、2、3 次成功的各項相加，得到 1 + 10 + 45 + 120 = 176 種有利結果，總共有 2^{10} = 1024 種可能，因此
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。