這個計算器的用途
此工具用來計算外切於圓的正多邊形邊長與面積，圓的半徑為 r。所謂「外切於圓」，是指正多邊形畫在圓的外圍，使每一條邊都恰好與圓相切（接觸於一點）。因此這個圓被內切於多邊形之中，而 r 正是每個多邊形的邊心距（apothem，內切圓半徑）——也就是從多邊形中心到任一邊中點的垂直距離。計算器會針對一段邊數範圍內的每個 n 各產生一列資料，並將每個多邊形的面積與圓面積相互比較。
使用方法
先輸入圓的半徑 r（可填任意正數，單位由你自行選定的長度單位決定），接著設定最少邊數（nMin，至少為 3）與最多邊數（nMax）。計算器會從 nMin 到 nMax 之間的每個整數 n 各列出一行，顯示邊長 a 與多邊形面積 S_p，並在表格上方標示圓面積 S_c。表格最多顯示 200 列。
公式說明
多邊形的每一條邊所對應的圓心角為 2π/n。從切點處將一條邊切開，可得到一個直角三角形，其對邊為 a/2、鄰邊為 r，因此 a/2 = r·\tan(π/n)，整理得
a = 2r\tan\!≤ft(((π) ÷ (n))\right)
整個多邊形可分解為 n 個三角形，每個三角形以 a 為底、r 為高，所以 S_p = \tfrac{1}{2} n a r = n r^2\tan\!≤ft(((π) ÷ (n))\right)
內切圓的面積為 S_c = π r^2
由於每個外切多邊形都把圓包在裡面，S_p 必定大於 S_c；當 n 越大，S_p 就越接近 S_c。
實例演算
以 r = 1、正六邊形（n = 6）為例：
a = 2·\tan(π/6) = 2· 0.57735 = 1.15470
S_p = 6· 1· 0.57735 = 3.46410
圓面積為 S_c = π ≈ 3.14159——可見多邊形面積確實大於圓面積。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
\(r\) 是邊長還是邊心距？
在此 \(r\) 為邊心距（內切圓半徑）。多邊形包在圓的外圍，所以圓半徑等於到每一邊的垂直距離。
為什麼多邊形面積比圓面積大？
外切多邊形一定把圓整個包覆在內，因此面積較大；隨著邊數增加，兩者會逐漸趨近一致。
使用什麼單位？
\(r\) 為通用的長度單位。邊長使用相同單位，面積則為該單位的平方。本工具不會進行任何單位換算。