這個計算機的功能
本工具會針對半徑為 r 的圓，計算所有能內接於其中的正多邊形的邊長與面積——從三角形開始，一直到你想要的任意邊數。它會建立一張表格，在你指定的最小值與最大值之間，為每個整數邊數 n 列出一列資料，同時也顯示圓本身的面積，讓你親眼看見多邊形面積如何逐漸逼近圓的面積。
使用方式
輸入圓的半徑 r（單位自選，只要前後一致即可——邊長會以相同單位呈現，面積則為該單位的平方）。接著設定多邊形邊數的範圍：從 n（至少為 3）到 n（不得小於最小值）。為了維持運算速度與表格易讀，最多顯示 200 列。n 越大，多邊形就越貼近圓的輪廓，面積也越接近圓面積。
公式解析
內接正 n 邊形可以切分成 n 個全等的等腰三角形，每個三角形有兩條等於半徑的邊在圓心相交，頂角為 ((2π) ÷ (n))。多邊形的邊就是三角形的底邊，
a = 2 r·\sin\!≤ft(((π) ÷ (n))\right)
（其中半角為 ((π) ÷ (n))）。每個三角形的面積為 ((1) ÷ (2))r^{2}·\sin\!≤ft(((2π) ÷ (n))\right)，因此整個多邊形的面積為 S_p = \tfrac{1}{2}· n· r^{2}·\sin\!≤ft(((2π) ÷ (n))\right)
。圓面積則單純為 S_c = π r^{2}
。當 n \to \infty 時，S_p \to S_c——這正是推導圓面積的經典極限論證。
實例演算
以 r = 1 的正六邊形（n = 6）為例：
a = 2· 1·\sin\!≤ft(((π) ÷ (6))\right) = 2· 0.5 = 1.0
S_p = \tfrac{1}{2}· 6· 1·\sin(60^\circ) = 3· 0.8660254 = 2.5980762
圓面積為 S_c = π ≈ 3.1415927，因此正六邊形已經填滿了圓大約 83% 的面積。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼 n 至少要等於 3？
多邊形最少需要三條邊，少於三條無法圍出任何面積。
應該使用什麼單位？
任何單位皆可——半徑會直接套用，不做任何換算。如果 r 以公分為單位，邊長就是公分，面積就是平方公分（cm²）。
為什麼多邊形面積會逼近圓面積？
每多加一條邊，多邊形就更貼近圓的形狀，因此當 n 越大時，兩者的面積差距就會越來越趨近於零。