什麼是 Softsign 函數？
Softsign 是神經網路中常用的平滑激活函數，定義為 \phi(x) = x / (1 + |x|)。它能將任意實數輸入映射到開區間 (-1, 1)，性質與雙曲正切（tanh）相似，但趨近飽和上下限的速度更慢。這種較為和緩的飽和特性，有助於在訓練過程中減輕梯度消失（vanishing gradient）的問題。本計算器會同時回傳函數值 \phi(x)，並以一階導數 \phi'(x) 作為主要輸出。
如何使用本計算器
在 x 欄位輸入任意實數——正數、負數或零皆可——即可讀取 \phi'(x)（Softsign 曲線的斜率）以及 \phi(x)（激活輸出值）。計算過程不涉及任何單位，x 是純粹的無因次實數。預設輸入值為 x = 0.5。
公式解析
\phi(x) = x / (1 + |x|) 的導數為
\phi'(x) = ((1) ÷ (≤ft(1 + ≤ft|x\right|\right)^{2}))
由於分母 (1 + |x|) 必定大於或等於 1，因此導數恆為正值，且落在 (0, 1] 區間內。其最大值 1 出現在 x = 0 處，此時函數曲線最為陡峭。當 |x| 越來越大時，\phi'(x) 會趨近於 0，正好反映出函數逐漸進入飽和的特性。
實例演算
以 x = 0.5 為例：|x| = 0.5，因此 1 + |x| = 1.5。函數值為
\phi(0.5) = ((0.5) ÷ (1.5)) = 0.333333\ldots
而導數為 \phi'(0.5) = ((1) ÷ (1.5^{2})) = ((1) ÷ (2.25)) = 0.444444\ldots
換言之，Softsign 曲線在 x = 0.5 處的輸出值約為 0.3333，斜率約為 0.4444。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
Softsign 在所有點都可微分嗎？
是的。雖然 \(|x|\) 在 \(x = 0\) 處有一個尖點，但 \(\phi\) 在該點的左導數與右導數同樣都等於 \(1\)，因此 \(\phi\) 在 \(0\) 以及其他所有點都是可微分的。
導數有可能為負值嗎？
不可能。\(\phi'(x) = \frac{1}{\left(1 + \left|x\right|\right)^{2}}\) 恆為正值，因為它是 \(1\) 除以一個正數的平方。
Softsign 與 tanh 有何差異？
兩者都飽和於 \((-1, 1)\)，但 Softsign 採用多項式型（\(1/x^2\)）的尾部，而非 tanh 的指數型尾部，因此飽和速度較慢，在遠離原點處也能保留稍大的梯度。