什麼是第一類斯特林數？
帶符號的第一類斯特林數記作 s(n,k)，它是把下降階乘 x(x-1)(x-2)\ldots(x-n+1) 展開成 x 的一般冪次時，各項所對應的係數。它的絕對值 c(n,k) = |s(n,k)| 則有另一層意義：代表 n 個元素的排列中，恰好能拆解成 k 個互不相交循環（cycle）的排列數量。兩者透過符號規則 s(n,k) = (-1)^{n-k} c(n,k) 相互連結。本計算機回傳的是帶符號的數值，與下降階乘的係數慣例完全一致。
使用方法
請輸入兩個非負整數：n（規模參數）與 k（循環數目，也就是冪次的指標）。按下計算後，工具會回傳 s(n,k)。需要注意幾個特殊情形：當 k 大於 n 時結果為 0；s(n,n) 永遠等於 1；而 s(0,0) 依定義為 1。
公式說明
我們以一張小型的動態規劃表，套用遞迴式
s(n+1,k) = s(n,k-1) - n s(n,k)
來逐步建立。起始條件為 s(0,0)=1，並令 s(n,0)=0（當 n>0）以及 s(0,k)=0（當 k>0）。由於每一列都只需從上一列推導，因此不必預先儲存龐大的查表資料。遞迴式中那個負號項，正是讓正負號交替出現的關鍵。
運算範例
來計算 s(5,2)。第 5 列的無符號循環數分別為 c(5,1)=24、c(5,2)=50、c(5,3)=35、c(5,4)=10、c(5,5)=1。符號為 (-1)^{5-2} = -1，因此 s(5,2) = -50。我們可以驗證：
x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = x^5 - 10x^4 + 35x^3 - 50x^2 + 24x
，其中 x^2 的係數確實是 -50。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼結果會是負數？
因為這是帶符號的版本；下降階乘中 \(x^k\) 的係數會依 \((-1)^{n-k}\) 規則正負交替。
該如何取得無符號的循環數？
取絕對值即可：\(c(n,k) = |s(n,k)|\)。
同一列的所有無符號數值加總會是多少？
把整列的 \(c(n,k)\) 對所有 \(k\) 相加，結果恰好等於 \(n!\)（\(n\) 的階乘）。