什麼是四面體數？
四面體數是指將大小相同的球體堆疊成正三角錐（四面體）共 n 層時，球體的總數。最頂層只有一顆球，往下每一層都是更大的三角形排列。第 n 個四面體數記作 T_n，就是這 n 層所有球體累加起來的總和。這是純數學概念，無論在世界任何地方都完全適用。
如何使用本計算機
輸入堆疊的層數 n（大於或等於 0 的整數），計算機會回傳三項結果：四面體數 T_n（球體總數）、以球體直徑為單位表示的堆疊實際高度 h_n，以及底層的球體數量。若輸入 n = 0，代表空堆疊（0 顆球、高度為 0）。
公式說明
每一層 k 本身就是一個三角形，放著第 k 個三角形數的球體 P_k = k(k+1)/2，因此由上往下各層的球數依序為 1、3、6、10……。將前 n 個三角形數相加，即可得到封閉公式
T_n = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}
至於高度，直徑為 d 的密堆積球體，相鄰兩層球心的垂直間距為 √(2/3) ≈ 0.8165 個直徑。再加上頂部與底部各半個半徑，便得到完整的實際高度
h_n = d≤ft((n-1)·\sqrt{\tfrac{2}{3}} + 1\right)
對於單一顆球（n = 1），此公式正確地回傳一個直徑的高度。
實例演算（n = 4）
四層分別放有 1、3、6、10 顆球，所以
T_n = 1 + 3 + 6 + 10 = 20
以封閉公式驗算同樣得到：((4· 5· 6) ÷ (6)) = 20 顆球
高度則為 h_n = (4-1)· 0.8165 + 1 = 2.4495 + 1 = 3.4495 個球體直徑
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
最底層有幾顆球？
底層放的是第 \(n\) 個三角形數，也就是 \(P_n = n(n+1)/2\) 顆球。
如果我想換算成實際長度怎麼辦？
高度是以「直徑」為單位表示的。只要把 \(h_n\) 乘上你實際的球體直徑 \(d\)（公分、公釐等皆可），就能得到實際長度。
為什麼高度要用 sqrt(2/3)？
在密堆積中，每顆上層球都會嵌進下方三顆球形成的凹窩裡；這樣的幾何關係使得相鄰層球心之間的垂直間距為 \(\sqrt{2/3} = \sqrt{6}/3 \approx 0.8165\) 個直徑。