這個計算器能做什麼
本工具會在已知樣本平均數（\mu）與標準差（\sigma）的情況下，估計「真值」可能落在的範圍。它假設該數值服從常態分布（normal distribution），並回傳對稱的雙尾區間 \mu ± z·\sigma，其中 z 是你所選信賴水準對應的標準常態臨界值。平均數與標準差皆為一般數字，計算出的區間也會以你輸入的相同單位呈現。
使用方式
請輸入平均數、標準差（必須大於或等於 0），以及以百分比表示的信賴水準，範圍須符合 50 < 信賴水準 < 100（最常用的是 95）。計算器會先把百分比換算成機率 p，求出臨界值 z = \Phi^{-1}\!≤ft(((1+p) ÷ (2))\right)，再回傳區間的下限與上限。當信賴水準為 100% 時區間會變成無限大，因此數值必須維持在 100 以下。
公式說明
令機率 p = 信賴水準/100，雙尾的 z 值即為標準常態分布在 (1+p)/2 處的分位數。
CI = Mean \mu ± z · SD \sigma
where z = \Phi^{-1}\!≤ft(((1 + ((Confidence %) ÷ (100))) ÷ (2))\right)
以 95% 為例，\Phi^{-1}(0.975) ≈ 1.95996，因此區間為 \mu ± 1.96\sigma。幾個實用的對照點：68.26% 的覆蓋率相當於 \mu ± 1\sigma、95.45% 相當於 \mu ± 2\sigma、99.73% 則相當於 \mu ± 3\sigma。反常態累積分布函數採用有理式（Acklam）近似法，再加上一次 Halley 修正步驟計算，因此完全不需要查表。
實例演算
假設平均數 = 100、標準差 = 5、信賴水準 = 99%：p = 0.99，z = \Phi^{-1}(0.995) ≈ 2.57583。
下限 = 100 - 2.57583· 5 = 87.121
上限 = 100 + 12.879 = 112.879
結果即顯示為「介於 87.12 與 112.88 之間」。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼 95% 用的是 1.96，而不是 1.645？
對稱的雙尾區間會把剩下的 5% 平分成兩條各 2.5% 的尾端，因此取 \(\Phi^{-1}(0.975) \approx 1.96\)。而 1.645 是單尾 95% 的分位數，用在雙尾範圍上並不正確。
我是不是該改用 t 分布？
當 \(\sigma\) 是由小樣本估計而來時，使用自由度與樣本數 \(n\) 相關的 t 分布（區間為 \(\text{平均數} \pm t\cdot s/\sqrt{n}\)）會更恰當。本工具刻意將 \(\sigma\) 視為已知的母體參數，並採用常態分布的 \(z\) 值，因此不需要輸入 \(n\)。
如果標準差 = 0 呢？
此時區間會收縮成單一一點 \([\text{平均數}, \text{平均數}]\)。