什麼是單位向量？
單位向量是指大小（長度）恰好為 1，且方向與原向量相同的向量。把一個向量轉換成單位向量的過程稱為正規化（normalization）。在物理、電腦繪圖、機器學習與工程領域中，只要你關心的是「方向」而非「大小」，單位向量都扮演著關鍵角色。
如何使用這個計算機
輸入向量的 x 與 y 分量；若是處理三維問題，再填入 z 分量（若為 2D 向量，z 留空或填 0 即可）。計算機會算出向量大小，再將每個分量除以這個大小，得到單位向量。
公式說明
首先用畢氏定理推廣到多維度來求出向量大小：|v| = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2} + v_z^{2}}。接著把每個分量都除以這個大小：\hat{u} = ≤ft(v_x/|v|,\ v_y/|v|,\ v_z/|v|\right)。
\hat{u} = ((\vec{V}) ÷ (\lVert \vec{V} \rVert)) = ((≤ft(V_x,\ V_y,\ V_z\right)) ÷ (\sqrt{V_x^{2} + V_y^{2} + V_z^{2}}))
算出來的向量長度永遠為 1。零向量無法正規化，因為它的大小為 0。
實例演算
以向量 v = (3,\ 4,\ 0) 為例。向量大小為
\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = √(9 + 16) = √(25) = 5
把每個分量都除以 5，就得到單位向量 \hat{u} = (3/5,\ 4/5,\ 0) = (0.6,\ 0.8,\ 0)。你可以驗證一下：\sqrt{0.6^{2} + 0.8^{2}} = √(0.36 + 0.64) = √(1) = 1。✓
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
單位向量的長度可以不是 1 嗎？
不行——根據定義，單位向量的大小一定恰好為 1（在四捨五入的誤差範圍內）。
如果我的向量是 (0,0,0) 怎麼辦？
零向量沒有方向，大小為 0，因此無法正規化；遇到這種情況，本工具會回傳全為零的結果。
這個工具適用於 2D 向量嗎？
適用。只要把 z 欄位保持為 0，計算機就會把它當成 2D 向量處理。