什麼是兩向量夾角計算機？
這個工具能依據兩個向量在 2D 或 3D 空間中的分量，計算出它們之間的夾角。它運用的是「內積（點積）」這個向量代數中最基本的關係式。無論你是在處理物理、電腦繪圖、機器學習還是工程問題，求出兩個方向之間的夾角都是相當常見且重要的工作。
使用方式
請輸入向量 A 與向量 B 的 x、y、z 分量。若處理的是二維問題，只要將 z 欄位留空或填入 0 即可。計算機會同時以度數和弧度回傳夾角，並列出內積、各向量的長度（大小）以及夾角的餘弦值，讓你能完整對照每一步的計算過程。
公式說明
夾角 θ 滿足以下關係：
其中內積為 \vec{a} · \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z，而每個向量的長度則是各分量平方和的平方根，例如 \lVert \vec{a} \rVert = √(a_x^2 + a_y^2 + a_z^2)。將內積除以兩向量長度的乘積即可得到 \cosθ，再取反餘弦（arccos）就能求出夾角，而這個角度必定落在 0° 到 180° 之間。
實例演算
假設 \vec{a} = (1, 0, 0)、\vec{b} = (1, 1, 0)。其內積為 1·1 + 0·1 + 0·0 = 1。兩向量長度分別為 \lVert \vec{a} \rVert = 1、\lVert \vec{b} \rVert = √(2) ≈ 1.4142。因此
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。