什麼是外積？
兩個三維向量 a 與 b 的外積（記作 a × b）會產生一個全新的向量，且這個向量同時垂直於兩個輸入向量。它的方向遵循右手定則，而其長度（大小）等於這兩個向量所張出的平行四邊形面積。本計算機會一次回傳完整的結果向量、它的長度，以及兩向量之間的夾角。
計算機怎麼用
分別輸入向量 a 的 x、y、z 分量（a_1、a_2、a_3）與向量 b 的 x、y、z 分量（b_1、b_2、b_3）。按下計算後，即可看到外積的各個分量、外積長度 ≤ft|\vec{a}×\vec{b}\right|，以及兩向量夾角 θ（以度為單位）。
公式拆解
各分量是由行列式展開計算而來：
\vec{a}×\vec{b} = ≤ft( a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1 \right)
長度為
≤ft|\vec{a}×\vec{b}\right| = \sqrt{c_x^{2} + c_y^{2} + c_z^{2}}
這同時也等於 ≤ft|\vec{a}\right|≤ft|\vec{b}\right|\sinθ。因此夾角可由 θ = \arcsin\!≤ft( ((≤ft|\vec{a}×\vec{b}\right|) ÷ (≤ft|\vec{a}\right| ≤ft|\vec{b}\right|)) \right)
反推得到。
實際範例
設 \vec{a} = (3, -3, 1)、\vec{b} = (4, 9, 2)。則 c_x = (-3)(2) - (1)(9) = -15、c_y = (1)(4) - (3)(2) = -2、c_z = (3)(9) - (-3)(4) = 39。所以 \vec{a}×\vec{b} = (-15, -2, 39)，其長度為 √(225 + 4 + 1521) = √(1750) ≈ 41.83。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
外積符合交換律嗎？
不符合。\(\vec{a}\times\vec{b} = -(\vec{b}\times\vec{a})\)；交換順序會讓方向反轉。
如果結果是零向量怎麼辦？
這表示兩個向量互相平行（或其中一個是零向量），此時它們的夾角為 0° 或 180°。
外積能用在二維嗎？
嚴格來說，外積是定義在三維空間的。若要處理二維向量，可將 z 分量都設為 0，這樣就只有 \(c_z\) 會是非零值。