這個計算器能做什麼
本工具可計算兩個向量 a 與 b 之間最基本的兩種運算：內積（點積）與外積（叉積）。內積的結果是一個純量（單一數值），外積的結果則是一個全新的三維向量，且同時垂直於原本的兩個向量。此外，計算器還會一併列出外積向量的大小（模長）以及兩向量之間的夾角。
使用方法
請以逗號分隔的數字輸入向量 a 與向量 b 的各個分量（例如 1, 2, 3）。計算內積時，a 與 b 只要維度 n 相同即可；但計算外積時，兩個向量都必須剛好是三個分量。你可以從下拉選單選擇要顯示的有效位數——此設定只影響結果的顯示方式，不會改變實際的運算精度。
公式說明
內積是將對應分量相乘後再加總：
a · b = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i
若結果為零，代表兩向量互相正交（垂直）。外積則會產生向量 a × b = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}
夾角可由 θ = \arccos\!≤ft( ((a · b) ÷ (\lVert a \rVert \lVert b \rVert)) \right)
求得，但前提是兩個向量都不能是零向量。
實例演算
設 a = (1, 2, 3)、b = (4, 5, 6)。內積為
1×4 + 2×5 + 3×6 = 4 + 10 + 18 = 32
外積的各分量為 c_1 = 2×6 - 3×5 = -3、c_2 = 3×4 - 1×6 = 6、c_3 = 1×5 - 2×4 = -3，因此 a×b = (-3, 6, -3)。其大小為 √(9+36+9) = √(54) ≈ 7.3485
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼外積算不出來？
外積只對三維向量有定義。請確認 a 與 b 都剛好是三個分量。
為什麼內積算不出來？
內積要求 a 與 b 的分量數目相同。如果兩者維度不一致，這個運算就無法成立。
內積為零代表什麼？
代表兩個向量互相正交，也就是彼此夾角為 90 度。