什麼是餘弦相似度？
餘弦相似度用來衡量兩個向量「方向」上有多接近。它就是兩向量夾角的餘弦值，範圍從 −1（方向完全相反）、經過 0（互相垂直），到 1（方向完全一致）。由於它只看方向、不受向量長度影響，因此在機器學習、文字探勘與推薦系統中被廣泛運用，常用來比較文件、嵌入向量（embeddings）與特徵向量之間的相似程度。
計算器使用說明
分別輸入向量 A 與向量 B 的 x、y 以及（選填的）z 分量。如果只想在二維空間中計算，將 z 欄位留空或填 0 即可。計算器會回傳餘弦相似度，並一併顯示點積、各向量的長度，以及兩向量之間的夾角（同時提供角度與弧度兩種單位）。
公式解析
點積是各對應分量乘積的總和：
\vec{A}·\vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z
向量的長度（模）則是各分量平方和再開根號：
\lVert\vec{A}\rVert = \sqrt{A_x^{2} + A_y^{2} + A_z^{2}}
將點積除以兩向量長度的乘積，即可把結果歸一化到 −1 到 1 的範圍，得到夾角 θ 的餘弦值：
\cosθ = ((\vec{A}·\vec{B}) ÷ (\lVert\vec{A}\rVert \lVert\vec{B}\rVert))
再取反餘弦（arccos），就能還原出夾角本身。
實際範例
假設 A = (1, 2, 3)、B = (4, 5, 6)。點積為
1· 4 + 2· 5 + 3· 6 = 4 + 10 + 18 = 32
兩向量長度分別為
\lVert A\rVert = √(1+4+9) = √(14) ≈ 3.7417
\lVert B\rVert = √(16+25+36) = √(77) ≈ 8.7750
因此
\cosθ = ((32) ÷ (3.7417 × 8.7750)) ≈ 0.9746
對應的夾角約為 12.93°。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
餘弦相似度為 0 代表什麼？
表示兩向量互相正交（垂直），夾角為 90°，方向上完全沒有相似性。
結果可以是負數嗎？
可以。負值代表兩向量的方向大致相反；若為 −1，則表示兩者完全反向（反平行）。
它和歐氏距離有什麼不同？
餘弦相似度忽略向量長度，只比較方向；而歐氏距離量測的是兩個向量端點之間的直線距離。