什麼是向量點積？
點積（又稱純量積）是把兩個或多個維度相同的向量，運算後得到一個單一數值的方法。以兩個向量來說，就是將對應分量相乘後全部加總。運算結果是一個純量（scalar），而非向量。點積廣泛應用於幾何、物理與機器學習領域－例如用來判斷兩個方向是否一致，或計算力所做的功。
如何使用本計算機
在文字框中輸入你的向量。每個向量可以用小括號 (1,2,3)、中括號 [1,2,3]、角括號 <1,2,3> 包起來，或直接各自獨立成一行。同一向量內的分量請以逗號分隔。每個向量必須包含相同數量的項目。選擇「自動」可顯示精確值，或指定有效位數來四捨五入顯示結果。
公式說明
對於維度為 n 的向量 a 與 b，點積為
\vec{a}·\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + ·s + a_n b_n
本計算機將此概念擴展到兩個以上的向量：先把每個向量的第 i 個分量相乘，再將所有乘積相加。 \vec{v}_1 · \vec{v}_2 ·s = \sum_{i=1}^{n} ≤ft( \prod_{j} v_{j,i} \right) from Enter vectors
當恰好只有兩個向量時，就回到我們熟悉的點積運算。
實際範例
假設 a = <3, 5, 8>、b = <2, 7, 1>，則點積為
(3× 2) + (5× 7) + (8× 1) = 6 + 35 + 8 = 49
若有三個向量 v1 = <1,2,3>、v2 = <4,5,6>、v3 = <1,1,2>，各分量的乘積分別為 4、10、36，加總後為 50。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
點積可以是負數或零嗎？
可以。兩個互相垂直（正交）的向量，點積為零；而方向大致相反的向量，點積則為負值。
如果向量長度不同怎麼辦？
點積只對維度相同的向量有定義，因此當各向量的項目數不一致時，計算機會顯示錯誤訊息。
設定有效位數會改變計算結果嗎？
不會－它只會對最終顯示的數值做四捨五入。底層運算始終採用完整精度。