什麼是向量範數？
向量範數用來衡量一個向量的「長度」或大小。本計算機可一次算出實數向量最常見的三種範數：L1 範數（又稱曼哈頓範數或計程車範數）、L2 範數（也就是我們熟悉的歐幾里得長度），以及 L-infinity 範數（絕對值最大的分量）。這些範數在機器學習、最佳化、統計、訊號處理與物理領域中隨處可見。
使用方法
在輸入框中，每一行輸入向量的一個分量，例如一個包含 3、-4、12 三個分量的向量。完整支援負數與小數，空白行會自動忽略。按下計算後，三種範數會同時呈現，並一併顯示偵測到的分量個數。
公式說明
對於分量為 x_1、x_2、…、x_n 的向量 x：
\|\vec{v}\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i| \qquad \|\vec{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}} \qquad \|\vec{v}\|_\infty = \max_i |x_i|
- L1 = |x_i| 的總和——把所有分量的絕對值加起來。
- L2 = x_i^{2} 總和的平方根——也就是從原點出發的直線距離。
- L-infinity = |x_i| 的最大值——單一絕對值最大的那個分量。
一個方便檢查的小技巧：對任何向量，恆有 \|\vec{v}\|_\infty ≤ \|\vec{v}\|_2 ≤ \|\vec{v}\|_1 的不等式關係。
實例演算
以向量 [3, -4, 12] 為例。L1 範數為
|3| + |-4| + |12| = 3 + 4 + 12 = 19.
L2 範數為 √(3^2 + (-4)^2 + 12^2) = √(9 + 16 + 144) = √(169) = 13.
L-infinity 範數為 \max(3, 4, 12) = 12.
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
輸入空白會怎樣？
若沒有輸入任何分量，三種範數都會顯示為 0。
分量的正負號重要嗎？
這三種範數都是取絕對值或平方計算，因此某個分量和它的相反數貢獻完全相同。
為什麼有些結果不是整數？
L2 範數需要開平方根，除非平方和剛好是完全平方數，否則結果會是無理數，並四捨五入顯示到約十位有效數字。