什麼是向量投影？
a 在 b 上的投影 上的向量投影，就像是向量 a 投射到 b 上的投影 所定義那條直線上的「影子」。計算結果本身也是一個向量，方向與 b 上的投影 相同（或相反）。它回答的問題是：a 有多少分量是沿著 b 上的投影 的方向？這在物理（分解力的分量）、電腦繪圖、機器學習與線性代數中，都是相當基礎的運算。
如何使用本計算機
輸入向量 a 與向量 b 上的投影 的各分量。若是二維向量，只要把 z 欄位留空即可（系統會自動視為 0）。按下計算，就能立即得到完整的投影向量、純量係數、兩個內積值，以及投影的長度（大小）。
公式解析
投影的計算方式如下：
首先求內積 \vec{a}·\vec{b} = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z。接著除以 \vec{b}·\vec{b}（也就是 b 長度的平方），得到一個純量係數。最後把這個純量乘上 b 上的投影 的每一個分量，完成縮放。要注意 b 上的投影 不能為零向量；若 b 是零向量，投影便無法定義，此時結果會回傳為零。
實例演練
設 a = (4, 1)、b = (2, 3)。則 \vec{a}·\vec{b} = 4· 2 + 1· 3 = 11，而 \vec{b}·\vec{b} = 2^2 + 3^2 = 13。純量係數為 11/13 ≈ 0.8462。投影向量即為 0.8462 · (2, 3) = (1.6923, 2.5385)，其長度為 √(1.6923^2 + 2.5385^2) ≈ 3.0509。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。