什麼是楊-拉普拉斯方程式？
楊-拉普拉斯方程式描述兩種靜止流體（例如空氣與水）界面兩側所維持的壓力差（Δ P），這個壓差是由表面張力造成的。像水滴或氣泡表面那樣的彎曲界面，會對內部流體產生回推作用，使內部壓力高於周圍環境的壓力。本計算器即是根據表面張力 \gamma 與界面的曲率，求出這個壓力的躍升量。
如何使用本計算器
首先選擇界面的幾何形狀。若為球體或球形液滴，請輸入表面張力 \gamma（單位為牛頓／公尺）與單一半徑 R。若為一般曲面，則需同時輸入兩個主曲率半徑 R_1 與 R_2。計算器會以帕斯卡（Pa）、千帕（kPa）及毫米汞柱（mmHg）三種單位回傳 Δ P。請全程使用國際單位制（SI）：半徑以公尺為單位，表面張力以 N/m（等同於 J/m²）為單位。
公式說明
對於一般曲面，壓力躍升量為
Δ P = \gamma ≤ft( ((1) ÷ (R_1)) + ((1) ÷ (R_2)) \right)
其中 ≤ft( ((1) ÷ (R_1)) + ((1) ÷ (R_2)) \right) 這一項即為曲面平均曲率的兩倍。半徑越小代表曲率越大，因此產生的壓力差也越大——這正是微小液滴與氣泡內部壓力特別高的原因。對於球體而言，兩個半徑相等，故方程式可簡化為 Δ P = ((2\gamma) ÷ (R))
實例演算
假設有一顆半徑 R = 0.001 m（1 mm）的水滴，於室溫下表面張力 \gamma = 0.0728 N/m。套用球體公式：
Δ P = ((2 × 0.0728) ÷ (0.001)) = 145.6 Pa
也就是說，水滴內部的壓力約比周圍空氣高出 146 Pa。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼球體會多出一個係數 2？
球體在各方向的半徑都相同，因此 \(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{2}{R}\)。
這個公式適用於肥皂泡嗎？
肥皂泡有內、外兩個界面，所以它的壓力躍升量會加倍：\(\Delta P = \frac{4\gamma}{R}\)。你可以輸入半徑的一半，或將球體的計算結果乘以 2，以將額外的界面納入考量。
我應該使用什麼單位？
半徑請使用公尺、表面張力請使用 N/m，這樣得到的答案才會是帕斯卡（Pa）。