這個計算機能做什麼
這個工具可以計算任意 2×2 矩陣（寫成 [[a, b], [c, d]]）的特徵值。特徵值描述線性變換如何沿著特徵方向對空間進行拉伸、壓縮或旋轉。它們廣泛出現在線性代數、物理學、微分方程、動態系統，以及機器學習領域（例如主成分分析 PCA）。
使用方法
輸入矩陣的四個元素：第一列填入 a 與 b，第二列填入 c 與 d。計算機會同時回傳兩個特徵值。當判別式為負時，特徵值會形成一組複數共軛配對，並以 x ± yi 的形式顯示。
公式解析
對於矩陣 [[a, b], [c, d]]，特徵值就是特徵多項式 \lambda^2 - (tr)\lambda + \det = 0 的根，其中跡 tr = a + d、行列式 \det = ad - bc。套用二次公式求解可得：
根號內的量 Δ = tr^2 - 4·\det 稱為判別式。若 Δ ≥q 0，特徵值為實數；若 Δ < 0，則為複數共軛，其實部為 tr/2，虛部為 ±√(-Δ)/2。
範例演算
以矩陣 [[2, 1], [1, 2]] 為例。此時 tr = 2 + 2 = 4、\det = (2)(2) - (1)(1) = 3。判別式為 4^2 - 4·3 = 16 - 12 = 4，因此 √(4) = 2。特徵值為 (4 + 2)/2 = 3 與 (4 - 2)/2 = 1。
解讀您的特徵值
每個特徵值描述線性映射 A 沿著其對應特徵向量方向如何作用。特徵值的符號和型別告訴您有關伸縮、方向，以及——當 A 是線性動力系統 \dot{x}=Ax 的矩陣時——有關長期穩定性。
實特徵值
- 正值 (\lambda>0): 映射沿著該特徵向量伸展（擴展）向量；在動力系統中該分量隨時間增長。
- 負值 (\lambda<0): 映射沿著該方向反射和/或收縮；在動力系統中該分量衰減到原點。
- |\lambda|>1 對比 |\lambda|<1: 對於重複迭代映射 (x_{n+1}=Ax_n)，幅度大於 1 表示沿著該軸擴展，小於 1 表示收縮。
- \lambda=0: 矩陣是奇異的 (Δ=0)；它將該方向摺疊到一個點，而 A^{-1} 不存在。
複共軛對
當 D<0 時特徵值為 \lambda=\alpha±\beta i。虛部 \beta 引入旋轉：軌跡螺旋或圓形運動而不是直線進出。實部 \alpha=\tfrac{\tau}{2} 決定螺旋是否增長 (\alpha>0)、衰減 (\alpha<0)，或形成閉軌道 (\alpha=0)。
重複特徵值（簡併性）
當 D=0 時存在單一特徵值 \lambda=\tfrac{\tau}{2}。如果它仍然有兩個獨立的特徵向量，矩陣是純伸縮；如果它只有一個，矩陣是缺陷的，動力學包括剪切（不正常或簡併節點）。
穩定性分類（跡-行列式）
對於系統 \dot{x}=Ax，原點處的平衡點由 \tau、Δ 和 D=\tau^2-4Δ 分類：
| 條件 | 特徵值型別 | 分類 |
|---|---|---|
| Δ<0 | 實，相反符號 | 鞍點（不穩定） |
| Δ>0,\ \tau<0,\ D≥ 0 | 實，均為負 | 穩定節點 |
| Δ>0,\ \tau>0,\ D≥ 0 | 實，均為正 | 不穩定節點 |
| Δ>0,\ \tau<0,\ D<0 | 複，負實部 | 穩定螺旋 |
| Δ>0,\ \tau>0,\ D<0 | 複，正實部 | 不穩定螺旋 |
| Δ>0,\ \tau=0 | 純虛數 ±\beta i | 中心（中性穩定） |
簡言之：行列式必須為正以獲得節點或螺旋，跡符號設定穩定性（負數 = 穩定，正數 = 不穩定），判別式決定節點 (D≥0) 對比螺旋 (D<0)。負行列式總是給出鞍點無論跡如何。
這是用於教育目的的一般數學信息，不是專業工程或財務建議；在依賴結果之前，請根據您的具體模型驗證結果。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
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