💰 3D Coordinate Rotation 計算機

3D 座標旋轉計算機會算出空間中的一個點，在你將它繞 X、Y 或 Z 軸旋轉後的新位置。它採用右手座標系與右手定則的正負號慣例，因此當你沿著旋轉軸的正向往原點方向看過去時，正角度代表逆時針旋轉。這純粹是解析幾何的運算，適用於各個領域——無論是物理、機器人學、電腦繪圖、CAD 還是工程設計，都能通用。

先輸入該點的起始座標（初始 x、y、z）。接著選擇角度的單位是「度」還是「弧度」。然後最多可定義三個旋轉步驟，每個步驟各有一個旋轉軸與一個角度。步驟會依序套用：步驟 1 作用在原始點上，步驟 2 作用在步驟 1 的結果上，依此類推。若想略過某個步驟，將該步驟的角度留空或設為 0 即可。若只需要單次旋轉，只要填寫步驟 1 就好。

對每個步驟而言，設 θ 為以弧度表示的角度，並令 c = \cosθ、s = \sinθ。繞 Z 軸旋轉時 z 保持不變，並將 (x, y) 對應為 (x· c - y· s, x· s + y· c)。

繞 X 軸旋轉時 x 保持不變；繞 Y 軸旋轉時 y 保持不變，其餘兩個座標都以相同方式混合運算。

將多個旋轉組合起來，等同於把它們的旋轉矩陣相乘；不過逐步套用到向量上，可以避免搞錯先後順序。

取點 (1, 0, 1)，將它繞 Z 軸旋轉 90°。此時 θ = π/2，所以 c = 0、s = 1。於是 x' = 1· 0 - 0· 1 = 0，y' = 1· 1 + 0· 0 = 1，而 z' 維持不變為 1。最終結果為 (0, 1, 1)。

每個旋轉矩陣的項目只取決於 \cosθ 和 \sinθ。該表列出了最常見角度的精確值，以便您可以直接將其代入 R_X、R_Y 或 R_Z。小數近似值顯示到小數點後四位。

注意 180^\circ 旋轉會改變垂直於軸的兩個坐標的符號，而 270^\circ 等同於 -90^\circ（從正軸向下看時為順時針方向旋轉四分之一圈）。

右手坐標系

一個三維框架，其中 X、Y 和 Z 軸的方向使得將右手的手指從 +X 指向 +Y 時，大拇指指向 +Z。這是標準的數學和物理習慣；這些旋轉矩陣假設使用該習慣。

右手法則

旋轉正方向的助記符：將右手大拇指指向旋轉軸的正方向，手指的捲曲方向就是該軸旋轉的正（逆時針）方向。

旋轉矩陣

一個 3×3 正交矩陣，行列式為 +1，它繞固定軸旋轉向量而不改變其長度。這裡 R_X、R_Y 和 R_Z 分別繞 X、Y 和 Z 軸旋轉。

θ (西塔)，旋轉角度

繞選定軸旋轉的量。以度或弧度為單位；該工具在評估 \cosθ 和 \sinθ 之前使用 θ_{弧度} = θ_{度}·π/180 在內部轉換度。

旋轉軸

固定直線（X、Y 或 Z），其上的點保持不變，而其他一切都繞其旋轉。在此工具中，每一步的軸選擇為 0 = X、1 = Y、2 = Z。

正方向 / 逆時針方向

正角度會產生逆時針旋轉（從軸的正端向原點方向看時）。負角度則相反（順時針）。

輸出坐標 x'、y'、z'

旋轉點 p' = R p 的分量。當有一個或多個連續旋轉時，p' = R_{a_3}(θ_3) R_{a_2}(θ_2) R_{a_1}(θ_1) p，其中最右邊的矩陣首先被應用。