💰 3X3 System Of Equations 計算機

這個工具可以解出三元一次聯立方程式，也就是含有 x、y、z 三個未知數的三條線性方程式。你只要把方程式整理成下列標準形式，再輸入各項係數即可：

計算器會算出 x、y、z 的唯一解，並同時顯示係數矩陣的行列式 \det(A)。任何實數係數都適用，包括負數、分數與小數。

每一列代表一條方程式。請依序填入 x 前面的係數（a）、y 的係數（b）、z 的係數（c），最後再填等號右邊的常數（d）。輸入前記得先把所有變數移到等號左邊、常數移到右邊。舉例來說，若方程式寫成 5 = 2x - y，請先改寫成 2x - y + 0z = 5 再輸入。

本工具採用克拉瑪公式（Cramer's rule）求解。首先計算係數矩陣 A 的行列式；接著針對每一個變數，將 A 中對應的那一行換成常數行 d，再取該矩陣的行列式。最後相除就能得到各變數的值：

如果 \det(A) = 0，克拉瑪公式便失效——此時方程組沒有唯一解（可能無解，也可能有無限多組解），計算器會特別標示出來。

求解 2x + y - z = 8、-3x - y + 2z = -11、-2x + y + 2z = -3。

計算得 \det(A) = -1。套用克拉瑪公式後，\det(A_x) = -2、\det(A_y) = -3、\det(A_z) = 1，因此 x = 2、y = 3、z = -1。可以驗算：

3×3 系統中的每個方程描述三維空間中的一個平面。解是所有三個平面相交的地方，而行列式 D=\det(A) 的值告訴您您處於以下三種情況中的哪一種。

D≠0：唯一解

當係數行列式非零時，三個平面恰好在一點相交。克萊默法則返回單個 (x,y,z)，該序數三元組是唯一同時滿足所有三個方程的值集。這是一個一致的、獨立的系統。輸出 x=D_x/D、y=D_y/D、z=D_z/D 是精確的（在舍入誤差範圍內），可以通過代入原始方程來驗證。

D=0：無唯一解

當 D=0 時，矩陣是奇異的，克萊默法則無法進行除法。存在兩個子情況：

• 不一致 — 無解。平面沒有公共點（例如，兩個或多個平行，或它們形成三棱柱排列，其中沒有單個點位於所有三個平面上）。系統沒有解。
• 相依 — 無窮多個解。平面共享一條直線（或重合）。在這裡，方程不是獨立的，存在無窮多個 (x,y,z) 三元組族，通常用自由參數描述。

行列式單獨無法區分這兩者；您必須檢查方程（例如，通過行約化）以查看它們是矛盾的還是冗餘的。

閱讀 x、y、z 輸出

三個返回的數字是使每個方程成立的坐標。一個值可以是負數、零或分數。如果計算器報告 D=0，請謹慎對待答案，重新檢查系統，而不是信任一個除法結果。

係數矩陣 A

3×3 陣列，包含每個方程左側乘以 x, y, z 的數字：行是方程，列對應 x、y 和 z。

常數向量 d

方程等於的右側值的列 (d_1, d_2, d_3)。

行列式 \det(A)（也稱為 D）

從方陣計算的單一標量，衡量矩陣是否可逆。\det(A)≠0 表示存在唯一解。

克萊默法則

一種通過將每個變量寫成行列式比率來求解平方線性系統的方法：x=D_x/D、y=D_y/D、z=D_z/D，其中 D_x, D_y, D_z 來自用 d 替換匹配列。

薩呂斯法則

3×3 矩陣行列式的快速計算方法：將從左上到右下運行的三條對角線求和，並減去從右上到左下運行的三條對角線。

奇異矩陣

行列式為 0 的方陣；它沒有逆矩陣，因此克萊默法則無法產生唯一解。

唯一解

恰好一個 (x,y,z) 滿足系統；當 D≠0 時發生。

一致系統

至少有一個解（一個或無窮多個）的系統。

相依系統

一致系統，因為方程不是全部獨立而有無窮多個解。

不一致系統

根本沒有解的系統；其方程相互矛盾。

每行 a, b, c, d

在第 i 行內，a_i 是 x 係數，b_i 是 y 係數，c_i 是 z 係數，d_i 是右側的常數。