什麼是 95% 信賴區間？
95% 信賴區間是根據樣本資料計算出來的一段數值範圍，這段範圍很有可能涵蓋母體的真實均值。所謂「95% 信心水準」，意思是如果你把同樣的抽樣流程重複很多次，大約會有 95% 所建構出的區間能夠成功捕捉到真正的均值。從科學研究、問卷調查、醫學試驗到商業分析，信賴區間都是最常被引用的統計量之一。
如何使用本計算器
請輸入三個數值：樣本均值（\bar{x}）、樣本標準差（s）以及樣本數（n）。計算器會回傳區間的下界與上界，並附上標準誤與誤差範圍，讓你清楚看到結果是怎麼一步步算出來的。
公式拆解
信賴區間的計算公式為
CI = \bar{x} ± 1.96 · \dfrac{s}{√(n)}
其中 s / √(n) 是均值的標準誤——樣本數愈大，標準誤就愈小，估計也就愈精確。常數 1.96 則是 z 分數，對應標準常態分布中央 95% 的範圍。把標準誤乘上 1.96 就得到誤差範圍，再分別加減到均值上，便構成整個區間。
實例演算
假設某樣本的均值為 100、標準差為 15、共有 36 筆觀測值。標準誤為
((15) ÷ (√(36))) = ((15) ÷ (6)) = 2.5
誤差範圍為 1.96 × 2.5 = 4.9
因此 95% 信賴區間就是 100 ± 4.9，也就是 95.1 到 104.9。
常見信心水準的Z分數
平均值的信心區間使用從標準常態分佈中取得的臨界值（z分數）。對於雙尾區間，選定的信心水準在組合尾部面積中留下 \alpha = 1 - CL，平均分配到每個尾部（\alpha/2）。95% 區間 — 這個計算器計算的區間 — 使用熟悉的值 z = 1.960，在每個尾部中留下 2.5%。
| 信心水準 | 雙尾z分數 | 總尾部面積（\alpha） | 每個尾部的面積（\alpha/2） |
|---|---|---|---|
| 80% | 1.282 | 0.20 | 0.100 |
| 90% | 1.645 | 0.10 | 0.050 |
| 95% | 1.960 | 0.05 | 0.025 |
| 98% | 2.326 | 0.02 | 0.010 |
| 99% | 2.576 | 0.01 | 0.005 |
這些z分數假設母體標準差已知，或樣本足夠大使得常態近似成立。對於帶有估計標準差的小樣本，t分佈臨界值（更大）更為適當。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
為什麼是 1.96 而不是 2？
在常態分布下，1.96 才是對應 95% 信心水準的精確 z 值；取整後的 2 只是方便心算的近似值。
該用 z 分布還是 t 分布？
當樣本數較大、或已知母體標準差時，使用 z 分數（1.96）較為合適。若樣本數較小（\(n < 30\)）且母體標準差未知，則改用 t 分布，會得到稍寬但更準確的區間。
區間較寬代表什麼？
區間愈寬，代表不確定性愈高——通常源自樣本太小或資料變異性太大。樣本數愈大，區間就愈窄、估計也愈精確。