什麼是複數的模？
複數通常寫成 a + bi 的形式，其中 a 是實部，b 是虛部。所謂「模」（也稱為絕對值或大小）指的是複數平面上原點到點 (a, b) 之間的距離。這個計算機會替你算出這段距離，同時也會回報該複數的輻角（也就是角度）。
如何使用這個計算機
只要輸入複數的實部 a 與虛部 b，工具就會立即算出 |a + bi|，並列出參與計算的平方項 a^2 與 b^2，以及分別以弧度和角度表示的輻角。
公式說明
模的計算公式為
|a + bi| = √(a^2 + b^2).
這其實就是畢氏定理的直接應用：a 與 b 構成一個直角三角形的兩股，而模就是斜邊。由於兩項都先取平方，結果必定為非負數。至於輻角，則透過 atan2(b, a) 求得，這個函式能正確處理每一個象限的情況。
實際範例
以複數 3 + 4i 為例，先算出 a^2 = 9 以及 b^2 = 16，兩者相加得 25，再開根號得 5，所以
|3 + 4i| = 5.
其輻角為 atan2(4, 3) ≈ 0.9273 弧度，約等於 53.13^\circ。
常見複數及其模數
常用複數的模數和輻角。輻角使用 atan2(b,a) 的主值，範圍在 (-180^\circ, 180^\circ]。
| a+bi | 模數 |a+bi| | 輻角（弧度） | 輻角（度數） |
|---|---|---|---|
| 1+0i | 1 | 0 | 0° |
| 0+1i | 1 | π/2 ≈ 1.5708 | 90° |
| 1+i | √(2) ≈ 1.4142 | π/4 ≈ 0.7854 | 45° |
| 3+4i | 5 | ≈ 0.9273 | ≈ 53.13° |
| -1+i | √(2) ≈ 1.4142 | 3π/4 ≈ 2.3562 | 135° |
| 1-i | √(2) ≈ 1.4142 | -π/4 ≈ -0.7854 | −45° |
| -1-i | √(2) ≈ 1.4142 | -3π/4 ≈ -2.3562 | −135° |
| 5+12i | 13 | ≈ 1.1760 | ≈ 67.38° |
| 0+0i | 0 | 0（未定義） | 0°（未定義） |
注意：0+0i 的輻角未定義，因為該點位於原點；大多數實現按慣例傳回 0。
關鍵詞彙
- 複數
- 形式為 a + bi 的數字，其中 a 和 b 是實數，i 是滿足 i^2 = -1 的虛數單位。
- 實部 (a)
- a+bi 的分量 a，位於複平面的水平（實）軸上。
- 虛部 (b)
- a+bi 中虛數單位的實係數 b；它位於垂直（虛）軸上。注意虛部是數字 b，而不是 bi。
- 模數／絕對值
- 從原點到複平面中的點 (a,b) 的距離，記為 |a+bi| = √(a^2 + b^2)。它始終是非負的。
- 輻角
- 正實軸與從原點到 (a,b) 的直線之間的角度 θ，以逆時針測量。結合模數，它給出極坐標形式 z = r(\cosθ + i\sinθ)。
- 複平面
- 二維平面（也稱為阿根圖），其中水平軸表示實部，垂直軸表示虛部，使每個複數可以作為一個點進行繪製。
- atan2 函數
- 雙引數反正切函數 atan2(b, a)，傳回所有四個象限中的正確角度（範圍 (-π, π]）。與純粹的 \arctan(b/a) 不同，它使用 a 和 b 的符號將角度放在正確的象限中。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
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🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。
常見問題 (FAQ)
模有可能是負數嗎？
不會。因為它是平方和的平方根，所以模永遠為零或正數。
如果 \(a\) 和 \(b\) 都是零會怎樣？
此時模為 \(0\)，而輻角依慣例取為 \(0\)。
模和輻角有什麼差別？
模代表複數距離原點有多遠，而輻角則代表從正實軸量起的方向（角度）。