本計算器的功能
本工具對兩個有理式進行加法或減法運算——有理式是指分子與分母皆為變數 x 的多項式的分數。它將兩個分數改寫到同一個公分母上，合併分子，並將結果化簡為單一最簡有理式。每個運算式以線性項之比的形式輸入，((a x + b) ÷ (c x + d))，涵蓋了代數中最常見的形式：普通常數、單項，以及線性的分子與分母。
使用方法
對於第一個運算式，先輸入分子的 x 係數 a 與常數 b，再輸入分母的 x 係數 c 與常數 d。選擇加法或減法，然後以相同方式輸入第二個運算式。若要輸入 5 這類普通常數，將它的 x 係數設為 0、常數設為 5。計算器會傳回化簡到最簡形式的合併運算式，並附上分子與分母係數（x 平方項、x 項與常數項）的表格。
公式詳解
將兩個分數寫到它們分母的乘積（公分母）之上，再對交叉相乘後的分子進行加法或減法，即可完成合併：
當兩個分母相等（或其中一個是另一個的常數倍）時，計算器會使用這個單一分母而非乘積，使結果保持最簡形式。接著，凡是能整除分子與分母每個係數的整數都會被約去。
範例演算
計算 ((3) ÷ (x+2)) 加 ((5) ÷ (x-1))。兩個分母沒有公因式，因此公分母是它們的乘積 (x+2)(x-1)：
分子展開為 3x - 3 + 5x + 10 = 8x + 7，分母展開為 x^2 + x - 2。由於 8、7 與分母係數沒有公因式，最簡答案為 ((8x + 7) ÷ (x^2 + x - 2))。
如何手動加減有理表達式
有理表達式是多項式的比率。此計算器適用於兩個線性除以線性的表達式，形式為 ((a_1x+b_1) ÷ (c_1x+d_1)) 和 ((a_2x+b_2) ÷ (c_2x+d_2))，其中每個分數的四個係數是您輸入到欄位 p1、q1、r1、s1 和 p2、q2、r2、s2 中的數字。下面的步驟與工具遵循的步驟相同，因此您可以檢查每一個中間行。
- 分解每個分母。將分母寫成 c_1x+d_1 和 c_2x+d_2，並提出您看到的任何整數因子（例如 4x+8 = 4(x+2)）。首先分解是讓您注意到兩個分母實際上是相同的原因。
- 確定最小公分母。如果兩個分母沒有公因子，最小公分母就是它們的乘積，(c_1x+d_1)(c_2x+d_2)。如果一個分母是另一個的常數倍數——或者兩個相同——最小公分母是單個（較大的）分母，而不是乘積。將相同的分母相乘會不必要地平方它們。
- 將每個分子乘以其分母缺少的因子。對於乘積最小公分母，第一個分數為 (a_1x+b_1)(c_2x+d_2)，第二個分數為 (a_2x+b_2)(c_1x+d_1)。每個分數保留其值，因為您將分子和分母乘以相同的數量。
- 展開兩個乘積。逐項使用分配律：
- 加或減分子。對於減法，在第二個分子的每一項上分配負號——中間項和常數項都改變符號，不只是第一項。這是最常見的錯誤來源：-(x^2 - x - 12) = -x^2 + x + 12。
- 合併同類項。將 x^2 項、x 項和常數分別分組，以便分子以標準形式 Ax^2 + Bx + C 結束。
- 化簡到最簡形式。計算分子和分母中所有整數係數的最大公約數，並除以它。如果分子和分母也共享一個完整的線性因子，也取消該因子——但僅適用於已允許的 x 值。
- 說明定義域限制。所有使原始分母為零的 x 值必須被排除，即使該因子在簡化過程中被取消。這意味著
注意定義域來自原始分母。在 ((2x+4) ÷ (4x+8)) 中，值 x=-2 仍被排除，儘管表達式簡化為常數 \tfrac{1}{2}。
關鍵術語和變數
| 術語 | 含義 |
|---|---|
| 有理表達式 | 兩個多項式的比率，((P(x)) ÷ (Q(x)))，僅在分母 Q(x) ≠ 0 時定義。它是數值分數的代數類比。 |
| 分子/分母 | 分數的頂部和底部多項式。在 ((2x+1) ÷ (x+3)) 中，分子是 2x+1，分母是 x+3。 |
| 線性項 ax+b | 一次多項式：一項 x 的一次方加上常數。此計算器的所有四個輸入都是線性表達式。 |
| 係數 (p1, q1, r1, s1, p2, q2, r2, s2) | 與 x 相乘的數字和常數。第一個分數是 ((p_1x+q_1) ÷ (r_1x+s_1))；將 x-係數設置為 0 以獲得常數，例如 q_1=5，p_1=0 和 s_1=1、r_1=0 給出數字 5。 |
| 公分母 | 任何兩個分母都能平均分解的表達式——乘積 (c_1x+d_1)(c_2x+d_2) 總是有效的。 |
| 最小公分母 (LCD) | 最小的這樣的表達式。當兩個分母共享一個因子時，LCD 小於它們的乘積；當它們相同時，LCD 是那個單獨的分母。 |
| 交叉相乘 | 快捷方式 ((a) ÷ (b)) ± ((c) ÷ (d)) = ((ad ± cb) ÷ (bd))。它總是給出正確的結果，但不一定是最簡形式。 |
| 最大公因子 (GCF / GCD) | 將分子和分母的每個係數相除的最大整數。除以它是最終的數值簡化步驟：((2x+4) ÷ (4x+8)) \to ((x+2) ÷ (2x+4))。 |
| 最簡形式（簡化形式） | 分子和分母不共享任何公整數因子和公多項式因子的狀態。 |
| 排除值/定義域限制 | 任何使原始分母為零的 x，即 x = -((d_1) ÷ (c_1)) 或 x = -((d_2) ÷ (c_2))。即使在取消後，這些也保持排除。 |
| 同類項 | 具有相同 x 次數的項。只有同類項可以合併：3x + (-x) = 2x，但 x^2 和 x 無法合併。 |
| 次數 | x 的最高次數。將兩個線性分母相乘會加上它們的次數，因此組合分母通常是二次的——例如 (x+2)(x-1) = x^2+x-2。只有當一個分母是常數或另一個分母的倍數時，它才保持線性。 |
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。