什麼是艾里函數？
艾里函數 Ai(x) 與 Bi(x) 是艾里微分方程 y'' = x·y（亦即 y'' − x·y = 0）的兩個線性獨立解。它們在物理與應用數學中無所不在：量子力學裡在古典轉折點附近（WKB 連接問題）、光學中焦散與彩虹的描述，以及漸近分析中都會用到。當 x 趨向正無窮大時，Ai(x) 會逐漸衰減趨近於零，Bi(x) 則呈指數成長；而當 x 為負值時，兩者都會振盪，並以 |x|^(−1/4) 的速度緩慢衰減。
如何使用本計算器
輸入任意有限實數 x（可為正、負或零），即可讀出對應的 Ai(x) 與 Bi(x)。預設值 x = 1.0 可作為入門參考。本計算不涉及任何單位——x 是純量、無量綱的實數。
公式說明
當 |x| 不太大時，計算器採用處處收斂的冪級數。兩個級數 f(x) 與 g(x) 透過穩定的遞迴關係逐項相加：對 f，term_k = term_(k−1) × x³ / ((3k−1)(3k))，從 1 開始；對 g，term_k = term_(k−1) × x³ / ((3k)(3k+1))，從 x 開始。接著 Ai(x) = c₁f − c₂g、Bi(x) = √3 (c₁f + c₂g)，其中 c₁ = Ai(0) = 0.3550280539、c₂ = −Ai'(0) = 0.2588194038。當 |x| 超過約 8 時，程式會改用漸近展開式，以避免相減消去造成的誤差。
實際範例（x = 1）
f(1) ≈ 1.1722994、g(1) ≈ 1.0853395。因此 Ai(1) = 0.3550280539×1.1722994 − 0.2588194038×1.0853395 ≈ 0.1352924，而 Bi(1) = √3×(0.4161680 + 0.2808727) ≈ 1.2074236。這些結果與標準參考值完全吻合。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
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