什麼是艾里函數數值表計算器？
這個工具能在一段實數 x 範圍內，計算兩個艾里函數 Ai(x) 與 Bi(x)，並可選擇一併列出它們的導數 Ai'(x) 與 Bi'(x)。艾里函數是艾里微分方程 y'' − x·y = 0 的兩個線性獨立解，在物理學中隨處可見：量子力學裡用來描述粒子在古典轉折點附近的波函數，此外也出現在光學、漸近分析以及彩虹理論之中。
使用方式
輸入 x 的起始值、結束值與步長。計算器會從起始 x 到結束 x（含兩端）依步長逐一產生每一列數值。勾選「導數」選項即可一併列出 Ai'(x) 與 Bi'(x)。圖形會以 x 為橫軸繪製 Ai(x) 與 Bi(x)，讓你清楚看到 Ai 在正 x 區間衰減，而兩個函數在負 x 區間都呈現振盪。
計算公式
採用以原點為中心的級數展開，並令 alpha = Ai(0) = 0.3550280539、beta = −Ai'(0) = 0.2588194038：
Ai(x) = alpha·f(x) − beta·g(x)，Bi(x) = sqrt(3)·(alpha·f(x) + beta·g(x))，其中 f(x) = 1 + x^3/6 + x^6/180 + … 而 g(x) = x + x^4/12 + x^7/504 + …。當 |x| 大於約 8 時，計算器會改用以 zeta = (2/3)|x|^(3/2) 表示的漸近公式，以避免級數相消造成的誤差。
實際範例
當 x = 0 時：f(0)=1、g(0)=0，因此 Ai(0) = alpha = 0.3550281，Bi(0) = sqrt(3)·alpha = 0.6149266。當 x = 1 時：f(1) 約為 1.1722535、g(1) 約為 1.0853407，得到 Ai(1) 約 0.1352924、Bi(1) 約 1.2074236，與標準數值表一致。
定義與詞彙表
- 第一類艾里函數，Ai(x)
- 艾里方程的解，當 x \to +\infty 時衰減至零。對於大的正 x，它的衰減形如 \dfrac{e^{-\zeta}}{2√(π) x^{1/4}}；對於負 x 它以緩慢增長的波長振盪。
- 第二類艾里函數，Bi(x)
- 第二個線性獨立解。當 x \to +\infty 時它的增長形如 \dfrac{e^{\zeta}}{√(π) x^{1/4}}，且如同 Ai，在 x<0 時振盪。
- 艾里微分方程，y'' - xy = 0
- 最簡單的具有轉折點的二階線性常微分方程。其通解為 y(x) = c_1 Ai(x) + c_2 Bi(x)。它出現在光學、量子力學（線性勢中的粒子）和波問題的 WKB 分析中。
- \zeta = \tfrac{2}{3}|x|^{3/2}
- 艾里函數的自然相位/衰減變數。它控制 x>0 時的指數增長和衰減，以及 x<0 時的振盪相位，在漸近展開式中處處出現。
- 轉折點
- x 的一個值，其中方程的行為改變性質。對於 y'' - xy = 0，轉折點在 x=0：對於 x<0（其中係數 -x 為正）解為振盪型，對於 x>0 為指數型（增長或衰減）。
- 漸近展開式
- 以 \zeta（或 x^{3/2}）的負冪的級數，對於大的 |x| 精確逼近 Ai 和 Bi。它無需收斂，但少數幾項在遠離原點處就能給出優異的精度，而公式分頁中的冪級數在那裡收斂緩慢。
- 朗斯基行列式
- 行列式 W = Ai(x) Bi'(x) - Ai'(x) Bi(x)。非零常數朗斯基行列式（此處為 1/π）確認 Ai 和 Bi 線性獨立，因此構成一個完整解基。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
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📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
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🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
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