💰 Algebra Coins And Ages Word Problem 計算機

這是一款多模式計算器，專門對付學生時代常碰到的經典代數與算術應用題：算出一堆硬幣的總值、把一段長度平均切成數份、推算出兩種硬幣各有幾枚、從彼此關係找出三個人的年齡，以及計算百分比變化。只要選好題型、輸入數字，答案立刻出現。所有金額都以美元（US dollars）顯示，但背後的數學原理人人通用——你大可把美元換成任何貨幣，或把單位換成你需要的任何單位。

先從下拉選單挑一個題目類型，表單就只會顯示該模式需要的欄位。接著填入硬幣枚數、長度、年齡或金額（皆為整數），結果連同答案與相關佐證數字就會一併呈現。如果某道題無解（例如兩種硬幣面額相同，或出現除以零的情況），計算器會直接說明原因，而不是丟給你一個會誤導人的數字。

硬幣總值：把每種硬幣的枚數乘上它以美分計的面額（1、5、10、25、50、100）再加總，最後除以 100 就換算成美元。

兩種硬幣枚數未知：你會有兩條方程式——兩種硬幣枚數相加等於硬幣總數（x + y = N），兩者價值相加等於總金額（v_1 · x + v_2 · y = T 美分）。相減後得到 y = (T - v_1 · N)/(v_2 - v_1)，再算出 x = N - y。 三人年齡：若有兩人分別比基準者年輕 o_1 與 o_2 歲，三人年齡總和為 S，則 3a - o_1 - o_2 = S，因此 a = (S + o_1 + o_2)/3。 百分比變化則是（新值 − 舊值）/ |舊值| × 100。

假設你有 8 枚硬幣，由一角硬幣（dime，10¢）與半美元硬幣（half dollar，50¢）組成，總值 1.60。那麼 T = 160 美分、N = 8、v_1 = 10、v_2 = 50。

枚半美元硬幣，再算出 x = 8 - 2 = 6 枚一角硬幣。驗算：6 · 10 + 2 · 50 = 160¢ =1.60，完全正確。

每個硬幣應用題都取決於了解每種硬幣的面值。以下列出了美分和美元兩種單位的價值。以美分計算可以保持算術為整數，避免舍入誤差；只在最後轉換為美元。

硬幣	價值（美分）	價值（美元）
便士	1¢	$0.01
鎳幣	5¢	$0.05
一角硬幣	10¢	$0.10
二十五美分硬幣	25¢	$0.25
半美元	50¢	$0.50
美元硬幣	100¢	$1.00

要計算混合硬幣堆的總值，將每種硬幣的數量乘以其面值，然後將乘積相加：T = 1p + 5n + 10d + 25q + 50h + 100D（以美分計），其中 p,n,d,q,h,D 分別是便士、鎳幣、一角硬幣、二十五美分硬幣、半美元和美元硬幣的數量。

1. 混合硬幣堆的總值

一個罐子中有 14 枚便士、8 枚鎳幣、12 枚一角硬幣、6 枚二十五美分硬幣和 2 枚半美元。將每種硬幣的數量乘以其面值（以美分計）並相加：

驗證：6 枚二十五美分硬幣單獨價值 1.50，2 枚半美元價值1.00，共計 2.50；剩餘的零錢（0.14 + 0.40 +1.20 = 1.74）使總額達到 4.24。✓

2. 三個相關的年齡

三個兄弟姐妹的年齡總和為 S = 48。中間的孩子比最小的大 4 歲，最大的比最小的大 10 歲。設最小的年齡為 x。那麼偏移量為 4 和 10：

這裡 3x = 34 不能被 3 整除，所以這個精確措辭沒有整數解。將總和調整為 S = 49 得到 3x = 35——仍然不是整數。當 S = 50 時：3x = 36，所以 x = 12。年齡分別為 12、16 和 22。

驗證：12 + 16 + 22 = 50 ✓，中間年齡是 12 + 4 = 16 ✓，最大年齡是 12 + 10 = 22 ✓。

3. 百分比變化

一枚收藏硬幣的價值從舊價格 80 上升到新價格92。百分比變化為：

因此價值增加了 15%。

驗證：80 的 15% 是 0.15 × 80 =12，而 80 + 12 = 92，與新價值匹配。✓

• 硬幣總數 (N)——所有硬幣的總計數，不分類型。在兩種硬幣問題中，N = x + y，其中 x 和 y 是兩種硬幣類型的計數。
• 總金額 (T)——所有硬幣的總貨幣值，通常在計算期間以美分表示，最後轉換為美元。
• 面值 (v)——單個硬幣的官方價值（例如一角硬幣的 v = 10 美分）。在公式中，v_1 和 v_2 是要求解的兩種硬幣類型的面值。
• 年齡偏移——一個人的年齡與參考人物（通常是最小的人）相差的固定年數。例如，「大 4 歲」是偏移量 +4。
• 年齡總和 (S)——所有年齡加在一起的總和。以參考年齡 x 和偏移量 a 和 b 為例：x + (x+a) + (x+b) = S，所以 x = (S - a - b)/3。
• 舊值／新值——百分比變化問題中的起始（原始）數量和結束數量。舊值是衡量變化的基準。
• 百分比變化——新值和舊值之間的相對差異，\dfrac{新 - 舊}{舊} × 100%。正結果表示增加；負結果表示減少。