💰 Amplitude Period Frequency 計算機

本工具可分析任何寫成標準式 y = A·\sin(Bx + C) + D 的正弦型函數（餘弦函數同樣適用）。只要輸入四個係數，就能算出振幅、週期、頻率、水平相位平移與垂直中線——這些正是繪製波形或描述一條波所需的關鍵特徵。

依序輸入係數 A（乘在三角函數外的倍率）、B（乘在函數內 x 前的係數）、C（函數內所加的常數）以及 D（函數外所加的常數）。若函數沒有任何平移，C 與 D 直接填 0 即可。按下計算，五項特徵一次呈現。

振幅為 |A|，代表曲線在中線上下擺動的最大距離。週期

以 y = 3·\sin(2x) 為例：A = 3、B = 2、C = 0、D = 0。振幅 = |3| = 3。週期 = ((2π) ÷ (|2|)) = π ≈ 3.1416。頻率 = ((|2|) ÷ (2π)) = ((1) ÷ (π)) ≈ 0.31831。相位平移 = -((0) ÷ (2)) = 0。中線 = 0。因此這條波會在 −3 與 3 之間擺動，每隔 π 單位完成一個週期。

對於任何形式為 y = A\sin(Bx + C) + D 的正弦函數（餘弦函數的運作方式完全相同），五個關鍵量是振幅 |A|、週期 T = \dfrac{2π}{|B|}、頻率 f = \dfrac{|B|}{2π}、相位移動 -\dfrac{C}{B} 和中線 y = D。

例子 1 — 餘弦函數：y = 3\cos(2x)

此處 A = 3、B = 2、C = 0、D = 0。

1. 振幅： |A| = |3| = 3。
2. 週期： T = \dfrac{2π}{|B|} = \dfrac{2π}{2} =π。
3. 頻率： f = \dfrac{|B|}{2π} = \dfrac{2}{2π} = \dfrac{1}{π} ≈ 0.318 個單位週期。
4. 相位移動： -\dfrac{C}{B} = -\dfrac{0}{2} = 0（無水平移動）。
5. 中線： y = D = 0。

圖形是在 -3 到 3 之間振盪的餘弦波，每 π 個單位完成一個週期。

例子 2 — 相位移動和中線：y = 2\sin\!≤ft(3x + \dfrac{π}{2}\right) + 4

此處 A = 2、B = 3、C = \dfrac{π}{2}、D = 4。

1. 振幅： |A| = 2。
2. 週期： T = \dfrac{2π}{|B|} = \dfrac{2π}{3} ≈ 2.094。
3. 頻率： f = \dfrac{|B|}{2π} = \dfrac{3}{2π} ≈ 0.477。
4. 相位移動： -\dfrac{C}{B} = -\dfrac{π/2}{3} = -\dfrac{π}{6} ≈ -0.524（向左平移 \tfrac{π}{6}）。
5. 中線： y = D = 4；波在 4-2 = 2 和 4+2 = 6 之間振盪。

係數 A（垂直縮放）

乘以正弦或餘弦的數字。其絕對值決定了波的高度；負的 A 也會將曲線沿中線反射。

振幅 |A|

從中線到峰值（或谷值）的最大距離，始終為非負數：振幅 = |A|。曲線的範圍從 D-|A| 到 D+|A|。

係數 B（角頻率）

三角函數內部乘以 x 的數字。較大的 |B| 會水平壓縮波，每個單位產生更多週期。

週期 T = \dfrac{2π}{|B|}

一個完整週期的水平長度。它只取決於 |B|，不取決於 A、C 或 D。

頻率 f = \dfrac{|B|}{2π} = \dfrac{1}{T}

x 每單位的完整週期數 — 週期的倒數。

係數 C（相位項）

加在三角函數參數內的常數。與 B 結合，它決定了波的水平位移。

相位移動 -\dfrac{C}{B}

曲線水平移動的距離。正結果向右移動；負結果向左移動。（分解 Bx + C = B(x + C/B) 會顯示移動。）

係數 D（垂直移動）

在三角函數外加上的常數，使整個波上升或下降。

中線 y = D

波環繞其振盪的水平線，位於最大值和最小值之間的中點。