💰 Amplitude Period Phase Shift 計算機

這個工具可以分析任何寫成標準式 y = a·\sin(bx - c) + d 的正弦函數（餘弦函數的算法完全相同）。只要輸入 a、b、c、d 四個係數，它就會立刻算出這條波形的四大變換：振幅、週期、相位移與垂直位移，並一併附上頻率。

請依照函數中出現的數值，原樣輸入各個係數。舉例來說，若函數為 y = 2·\sin(3x - 1)，則設定 a = 2、b = 3、c = 1、d = 0。計算機支援負數與小數。如果你的函數寫成 a·\sin(b(x - h)) 的形式，只要先展開，讓 c = b· h，再輸入即可。

振幅為 |a|，也就是曲線從中線往上或往下擺動的最大距離。週期為 ((2π) ÷ (|b|))，即一個完整週期在水平方向上的長度——|b| 越大，波形就被壓得越緊。相位移為 ((c) ÷ (b))，表示圖形在水平方向的位移（正值代表圖形向右移）。垂直位移 d 則讓中線整體上移或下移。頻率就是週期的倒數。

以 y = 2·\sin(3x - 1) 為例：

振幅 (|a|)

波的最大值和最小值之間垂直距離的一半——峰值相對於中線的高度。它始終等於 a 的絕對值；負的 a 會反射曲線跨越中線，但不改變振幅。

週期 ≤ft(\tfrac{2π}{|b|}\right)

一個完整週期的水平長度。較大的 |b| 會壓縮波（週期更短）；較小的 |b| 會拉伸它（週期更長）。

相位偏移 ≤ft(\tfrac{c}{b}\right)

曲線的水平位移。正值將圖形向右移，負值向左移。注意它是 c/b，而不是只有 c。

垂直偏移 / 中線 (d)

水平線 y = d，波圍繞其振蕩。當 d>0 時圖形向上移動，當 d<0 時向下移動。

頻率 ≤ft(\tfrac{|b|}{2π}\right)

x 每單位的完整週期數；週期的倒數。在 x 為時間的物理環境中，以每秒週期數（赫茲）測量。

角頻率 (b)

x 上的係數，以每單位 x 的弧度表示。它通過 b = 2π f 與普通頻率相關，並確定正弦的引數推進的速度。

係數 a, b, c, d

在 y = a\sin(bx - c)+d 中：a 設定垂直拉伸和振幅，b 設定水平壓縮（週期/頻率），c 通過 c/b 控制水平相位偏移，d 設定中線的垂直位置。

例子 1：y = -4\cos(2x + π) + 1

儘管用餘弦編寫，相同的轉換規則適用。通過將 2x+π 改寫為 2x-(-π) 將其與 a\cos(bx - c)+d 匹配，因此 a=-4,\ b=2,\ c=-π,\ d=1。

1. 振幅： |a| = |-4| = 4。負號反射曲線，但振幅為 4。
2. 週期： \dfrac{2π}{|b|} = \dfrac{2π}{2} = π。
3. 相位偏移： \dfrac{c}{b} = \dfrac{-π}{2} = -\dfrac{π}{2}，即向左 \tfrac{π}{2}。
4. 垂直偏移： d = 1；中線為 y = 1。

例子 2：y = 2\sin(0.5x - 1.5) - 3

這裡 a=2,\ b=0.5,\ c=1.5,\ d=-3。

1. 振幅： |a| = 2。
2. 週期： \dfrac{2π}{0.5} = 4π ≈ 12.566。
3. 相位偏移： \dfrac{1.5}{0.5} = 3 向右。
4. 垂直偏移： d = -3；中線為 y = -3。

例子 3：y = \tfrac{3}{4}\sin(3x - \tfrac{π}{2})

一個分數振幅情況，其中 a=\tfrac34,\ b=3,\ c=\tfrac{π}{2},\ d=0。

1. 振幅： |a| = \tfrac34 = 0.75。
2. 週期： \dfrac{2π}{3} ≈ 2.094。
3. 相位偏移： \dfrac{π/2}{3} = \dfrac{π}{6} ≈ 0.524 向右。
4. 垂直偏移： d = 0；中線為 x 軸。

您可以確認此曲線的單一輸出值——例如在 x=\tfrac{π}{2} 時，y = \tfrac34\sin(3·\tfrac{π}{2} - \tfrac{π}{2}) = \tfrac34\sin(π) =0。