💰 And Probability 計算機

AND 機率寫作 P(A 且 B) 或 P(A \cap B)，指的是兩個事件「同時發生」的機率。它能回答像是「我擲出 6 點而且又擲出正面的機率有多少？」這類問題。任何機率值都介於 0（不可能）到 1（必然）之間，因此兩事件同時發生的聯合機率，永遠不會大於其中任何一個單一事件的機率。

首先判斷你的兩個事件是「獨立」還是「相依」。若為獨立事件，請輸入 P(A) 與 P(B)；若為相依事件，請輸入 P(A) 以及條件機率 P(B \mid A)，也就是「在 A 已經發生的前提下，B 發生的機率」。計算機會將兩個數值相乘，並同時以小數與百分比顯示結果。

對於獨立事件，乘法法則為

對於相依事件，由於一個事件的結果會改變另一個事件的機率，因此改用一般乘法法則 就數學運算而言，兩者其實完全相同——你只是把 P(B) 換成 P(B \mid A) 而已——這也是為什麼本工具在兩種模式下都只是把你輸入的兩個數值相乘。

假設下雨的機率為 P(A) = 0.4，而公車誤點的機率（與下雨互相獨立）為 P(B) = 0.25，那麼兩件事同時發生的機率就是

也就是 10%。但如果這兩件事其實是相依的——下雨會讓公車誤點的機率上升到 P(B \mid A) = 0.6——那麼 也就是 24% 的機率。

兩個事件同時發生的概率，記為 P(A \cap B)，取決於這些事件是否為獨立（一個不影響另一個）或依賴（A的結果改變B的概率）。對於獨立事件，您將 P(A) × P(B) 相乘；對於依賴事件，您將 P(A) × P(B \mid A) 相乘，其中 P(B \mid A) 是給定A已發生時B的條件概率。

P(A)	P(B) 或 P(B\|A)	類型	P(A 且 B)	註解
0.5	0.5	獨立	0.25	兩枚公正硬幣都是正面
0.5	0.8	依賴	0.40	P(B\|A) 更高，因為A使B更有可能發生
0.1667	0.1667	獨立	0.0278	公正骰子上擲出兩個六點 (1/36)
0.25	0.20	依賴	0.05	連續抽取兩張特定卡牌
0.6	0.0	互斥	0.0	事件不能同時發生，所以 P(A 且 B)=0
1.0	0.3	獨立	0.30	A 必然發生，所以結果等於 P(B)

注意 P(A \cap B) 總是小於或等於兩個概率中較小的那個。對於互斥事件，兩者不能同時發生，所以 P(A \cap B) = 0。對於密切相關的事件，您可能還想要反向方向，P(A \mid B)，條件概率計算器可以從 P(A \cap B) 和 P(B) 得出。

對任何一對事件使用這些步驟。唯一改變算術的決定是事件是獨立還是依賴。

1. 決定事件是獨立還是依賴。 獨立意味著知道A發生對B沒有影響（例如兩次硬幣擲出）。依賴意味著A改變B的概率（例如不放回抽取卡牌）。
2. 寫下 P(A)。 將其表示為0到1之間的小數。例如，一枚公正硬幣給出 P(A) = 0.5。
3. 寫下第二個概率。 對於獨立事件使用 P(B)。對於依賴事件使用條件概率 P(B \mid A) — A發生之後 B的概率。
4. 將兩個值相乘。
   P(A \cap B) = P(A) × P(B) 或 P(A) × P(B \mid A)
   對於兩枚公正硬幣：0.5 × 0.5 = 0.25。
5. 將小數轉換為百分比，乘以100。這裡 0.25 × 100 = 25%。

合理性檢查：答案必須不大於任何一個輸入，因為要求兩個事件都發生只會使結果變得更少見（或同樣可能）。如果您的結果超過 P(A) 或 P(B)，您犯了一個算術錯誤。一個快速的計算示例：抽取一張紅牌然後黑桃說明了依賴情況，而兩個獨立骰子各顯示六點給出 0.1667 × 0.1667 = 0.0278，與骰子概率計算器中的1對36機會相符。