這個計算機可以做什麼
「兩向量夾角計算機」可以求出二維或三維空間中兩個向量之間的夾角。只要輸入每個向量的 X、Y 以及（選填的）Z 分量，工具就會同時以角度與弧度回傳夾角，並附上內積、各向量的長度（大小），以及夾角的餘弦值。它適用於空間中任何方向，在物理、工程、電腦繪圖與線性代數等領域都被廣泛使用。
使用方法
在第一列輸入向量 A 的分量，第二列輸入向量 B 的分量。如果是二維向量，只要把 Z 欄留空或填入 0 即可。按下計算後就會顯示夾角。由於是對內積比值取反餘弦（arccos），結果一定為非負值，因此夾角永遠落在 0° 到 180° 之間。
公式說明
兩向量的內積等於它們長度的乘積再乘以夾角的餘弦：a· b = |a||b|\cosθ。將公式移項即可得到 θ = \arccos≤ft(((a· b) ÷ (|a||b|))\right)。內積的算法為 a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z，而每個向量的長度則是各分量平方和的平方根。如果任一向量的長度為零，夾角就無法定義，因此本計算機會特別防範除以零的情況。
實例演算
假設 A = (1, 0, 0)、B = (1, 1, 0)。內積為 1× 1 + 0× 1 + 0× 0 = 1。兩向量的長度分別為 |A| = 1 與 |B| = √(2) ≈ 1.4142。因此 \cosθ = 1 / 1.4142 ≈ 0.7071，得到
解釋您的結果
此計算機傳回的角度 θ 範圍從 0^\circ 到 180^\circ（0 到 π 弧度）。由於大小 \lVert\vec{A}\rVert 和 \lVert\vec{B}\rVert 始終為正，因此 餘弦的符號與點積的符號相符。這一個事實可讓您一目瞭然地了解幾何關係：
| 角度 θ | \cosθ | 點積 \vec{A}·\vec{B} | 幾何意義 |
|---|---|---|---|
| 0^\circ | +1 | 正數（最大值） | 相同方向 — 向量平行 |
| 0^\circ–90^\circ | 在 0 和 +1 之間 | 正數 | 銳角 — 向量指向相同的大致方向 |
| 90^\circ | 0 | 零 | 正交（垂直） |
| 90^\circ–180^\circ | 在 -1 和 0 之間 | 負數 | 鈍角 — 向量大致方向相反 |
| 180^\circ | -1 | 負數（最小值） | 相反方向 — 反平行 |
快速閱讀規則：正點積表示銳角，零點積表示直角，負點積表示鈍角。\cosθ 越接近 ± 1，向量就越接近沿著同一條線。
定義與詞彙表
- 向量
- 既有大小又有方向的量，寫作有序分量列表，例如 \vec{A}=(A_x, A_y, A_z)。
- 向量分量（x / y / z）
- 向量在座標軸上的投影。A_x、A_y 和 A_z 分別是向量沿 x、y 和 z 軸延伸的量。對於 2D 向量，設定 A_z = 0。
- 點積（標量積）
- 由兩個向量形成的單一數字：\vec{A}·\vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z。它等於 \lVert\vec{A}\rVert \lVert\vec{B}\rVert\cosθ，因此其符號顯示角度是銳角、直角還是鈍角。
- 大小（範數、長度）
- 向量的長度，\lVert\vec{A}\rVert = √(A_x^2 + A_y^2 + A_z^2)。它始終為非負數。
- 餘弦
- 三角比 \cosθ，其等於正規化點積 \dfrac{\vec{A}·\vec{B}}{\lVert\vec{A}\rVert \lVert\vec{B}\rVert}。它的範圍從 -1（相反）經過 0（垂直）到 +1（相同方向）。
- 反餘弦（反餘弦函數）
- 函數 \arccos(x) 從其餘弦值恢復角度，傳回 0^\circ 到 180^\circ（0 到 π 弧度）之間的值。
- 正交 / 垂直
- 在 90^\circ 相交的向量。它們的點積正好為零。
- 平行 / 反平行
- 平行向量指向相同方向（θ = 0^\circ、\cosθ = +1）；反平行向量指向正好相反的方向（θ = 180^\circ、\cosθ = -1）。在這兩種情況下，向量都沿著同一條線。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
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