這個計算器的功能
本工具利用內積（點積）求出 2D 或 3D 空間中兩個向量之間的夾角。只要輸入向量 a 與向量 b 的各個分量，即可得到以「度」與「弧度」表示的夾角，同時顯示內積值、兩個向量各自的長度（大小），以及夾角的餘弦值。無論是純數學、物理、工程、電腦繪圖，還是機器學習中的相似度問題，都能派上用場。
使用方式
分別輸入每個向量的 x、y（以及選填的 z）分量。如果是 2D 向量，只要把 z 欄位留空或填 0 即可。按下計算後就能看到夾角。計算結果一律落在 0° 到 180° 之間，也就是兩個方向之間最小的幾何夾角。
公式說明
內積與夾角的關係為 a·b = |a||b|\cosθ。將公式整理後求 θ，可得
內積是逐分量相乘再相加：
每個向量的長度則是各分量平方和開根號：
為了避免浮點數的捨入誤差，相除後的結果會先限制在 [-1, 1] 範圍內，再取反餘弦。
實例演練
假設 a = (1, 0, 0)、b = (1, 1, 0)。內積為
兩向量長度為 |a| = 1、|b| = √(2) ≈ 1.4142。因此
得到 θ = \arccos(0.7071) = 45°，約等於 0.7854 弧度。
解釋您的結果
計算器返回的角度 θ 描述了兩個向量相對於彼此的方向，與它們的長度無關。\cosθ 的符號和大小可以一目瞭然地告訴您幾何關係。
- θ = 0^\circ (\cosθ = 1) — 平行 / 同方向。 向量指向完全相同的方向；一個是另一個的正標量倍數。
- 0^\circ < θ < 90^\circ (\cosθ > 0) — 銳角。 點積為正，向量指向大致相似的方向。
- θ = 90^\circ (\cosθ = 0) — 正交（垂直）。 點積恰好為零。這是垂直性的定義性測試。
- 90^\circ < θ < 180^\circ (\cosθ < 0) — 鈍角。 點積為負；向量指向大致相反的方向。
- θ = 180^\circ (\cosθ = -1) — 反平行 / 相反方向。 一個向量是另一個的負標量倍數。
在機器學習和文本分析中，\cosθ 本身稱為餘弦相似度。直接解釋：**1** 表示相同方向（最相似），**0** 表示正交/無關，**−1** 表示相反。由於它忽略了幅度，兩個具有相同方向但長度不同的文檔或嵌入會被評為相同。角度和相似度包含相同的信息 — 角度只是相似度的 \arccos。
常見角度參考值
這些標準角度及其精確餘弦值對於檢查結果和識別常見方向很有用。角度由 θ = \arccos(\cosθ) 得出。
| 角度（度數） | 角度（弧度） | \cosθ | 關係 |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1.0000 | 平行（同方向） |
| 30° | π/6 | 0.8660 | 銳角 |
| 45° | π/4 | 0.7071 | 銳角 |
| 60° | π/3 | 0.5000 | 銳角 |
| 90° | π/2 | 0.0000 | 正交（垂直） |
| 120° | 2π/3 | −0.5000 | 鈍角 |
| 135° | 3π/4 | −0.7071 | 鈍角 |
| 150° | 5π/6 | −0.8660 | 鈍角 |
| 180° | π | −1.0000 | 反平行（相反） |
若要將 60° 這樣的十進制度數結果轉換為度、分和秒，您可以使用60° 轉換。
使用注意事項與精準校對原則（6 大核心守則）
📐 1. 嚴格對齊輸入量綱與單位
輸入各項數值時請務必確認量綱（例如小時、天數、金額、百分比），避免單位不匹配引發推算偏差。
🔒 2. 純前端本機毫秒級隱私保障
所有計算邏輯 100% 在您的終端瀏覽器內完成，資料絕不上傳伺服器，嚴格守護商業與個人隱私。
📊 3. 符合公認學術與產業計算模型
演算法嚴格遵循國際通用數學公式與標準計算模型，經多重情境交叉核對，數值嚴密精確。
📋 4. 一鍵複製與免登入 PDF 匯出
支援一鍵複製推算結果字串至剪貼簿，亦可直接點擊列印按鈕輸出純淨 PDF 工作報表。
🔄 5. 多情景敏感度動態對比
建議針對極端值與多組預期情景分別試算，觀察輸出數據的波動區間，輔助做出更穩健的決策。
🛡️ 6. 專業諮詢與日常參考免責聲明
本工具運算結果供日常排程、學業研習與事前參考之用，如涉及重大法規或投資決策請諮詢持證專家。